《理論》〈電気回路〉[H27:問3]回路の過渡現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図1のように,片側矩形波電流を供給する電流源\( \ i_{\mathrm {s}} (t) \ \)と並列内部抵抗\( \ R \ \)で表される電源に,インダクタンス\( \ L \ \)のコイルとスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を接続し,\( \ t=0 \ \)でスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じた。スイッチを閉じる前のコイルの磁束は零とする。電流源\( \ i_{\mathrm {s}} (t) \ \)の波形は図2のように\( \ t > T \ \)で周期的であり,\( \ 0 < I < I_{0} \ \)である。

\( \ 0 < t < T \ \)でコイルの電流\( \ i(t) \ \)が満たす微分方程式は,
\[
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i(t)=\fbox {  (1)  }
\] である。よって次式が得られる。
\[
i(T)=I_{0}\times \fbox {  (2)  } ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ①
\] 次に\(T < t < 2T\)では,\(i_{\mathrm {s}} (t)=0\)であることから,
\[
i(2T)=i(T)\times \fbox {  (3)  } \  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ②
\] 同様に,電流源\(i_{\mathrm {s}} (t)\)の波形に注意すれば,
\[
i(3T)=i(2T)\times \fbox {  (3)  }+I\times \fbox {  (2)  } ・・・・・・・・・・・ ③
\] \[
i(4T)=i(3T)\times \fbox {  (3)  }  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ④
\] が得られる。

\( \ i(T)+i(2T)=I \ \)が成立するとき,\( \ ② \ \)式と\( \ ③ \ \)式の左辺の和を,各式の右辺の和で表すと
\[
i(2T)+i(3T)=\left[ i(T) +i(2T)\right] \times \fbox {  (3)  }+I\times \fbox {  (2)  }=\fbox {  (4)  }
\] となる。この結果を利用すると,\( \ ③ \ \)式と\( \ ④ \ \)式の左辺の和に対しても,
\[
i(3T)+i(4T)=\fbox {  (4)  }
\] が成立する。このときコイルの電流\( \ i(t) \ \)は,\( \ i_{\mathrm {s}} (t) \ \)と同じように\( \ t > T \ \)で周期\( \ 2T \ \)の電流となる。\( \ i(T)+i(2T)=I \ \)が成立するのは,\( \ ① \ \)式と\( \ ② \ \)式より,\( \ I \ \)と\( \ I_{0} \ \)の関係が\( \ \fbox {  (5)  } \ \)のときである。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& R\left[ i(t)-I_{0}\right]   &(ロ)& \left( \mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}-1\right)   &(ハ)& \left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {L}{R}T}\right) \\[ 5pt ] &(ニ)& I=I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}\right)   &(ホ)& I=I_{0}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}   &(ヘ)& R\left[ I_{0}-i(t)\right] \\[ 5pt ] &(ト)& I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}   &(チ)& I=I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L}T}\right)    &(リ)& \mathrm {e}^{-\frac {2R}{L}T} \\[ 5pt ] &(ヌ)& R\left[ I_{0}+i(t)\right]   &(ル)& \mathrm {e}^{-\frac {L}{R}T}   &(ヲ)& \mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T} \\[ 5pt ] &(ワ)& I\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L}T}   &(カ)& I   &(ヨ)& \left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}\right)
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

過渡現象は二種から出題される分野ですが,その出題頻度は高く,確実にマスターしておかなければならない分野です。微分方程式の解き方はパターン化されているので,確実に理解するようにしましょう。

1.インダクタンスの電圧降下
 直流回路におけるインダクタンス\( \ L \ \)の電圧降下\( \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ \)は,下記の通りとなります。
\[
v_{\mathrm {L}}\left( t\right)=L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}
\] 2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ.定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \),過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると,電流値\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ.定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ.過渡解はスイッチを入れた直後の解すなわち\( \ L \ \)開放(\( \ E=0 \ \)と同義)の時の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x} \ln {x} =\frac {1}{x} 
\] ②自然対数の積分
\[
\int \frac {1}{x}\mathrm {d}x =\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right)
\] \[
\ln {x}=-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時, x=A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right)となります。
\]

【解答】

(1)解答:ヘ
図2より\( \ 0 < t < T \ \)において,電流源から供給される電流は\( \ I_{0} \ \)であるから,抵抗\( \ R \ \)に流れる電流は,\( \ I_{0}-i(t) \ \)となる。
抵抗\( \ R \ \)とインダクタンス\( \ L \ \)の電圧降下は等しいので,
\[
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i(t)=R\left[ I_{0}-i(t)\right] \] となる。

(2)解答:ヨ
(1)の微分方程式を整理すると,
\[
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i(t)+Ri(t)=RI_{0}
\] となる。定常解\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)を求めるため,\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
Ri_{\mathrm {s}}(t) &=& RI_{0} \\[ 5pt ] i_{\mathrm {s}}(t)&=& I_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。次に過渡解\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)を求めるため,\( \ RI_{0}=0 \ \)を代入し,過渡解を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i_{\mathrm {t}}(t)+Ri_{\mathrm {t}}(t) &=& 0 \\[ 5pt ] \frac {1}{i_{\mathrm {t}}(t)}\mathrm {d}i_{\mathrm {t}}(t)&=& -\frac {R}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \ln i_{\mathrm {t}}(t)&=& -\frac {R}{L} t +C \\[ 5pt ] i_{\mathrm {t}}(t)&=& A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって一般解は,
\[
\begin{eqnarray}
i(t) &=& i_{\mathrm {s}}(t)+i_{\mathrm {t}}(t) \\[ 5pt ] &=& I_{0}+A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\( \ t=0 \ \)の時,\( \ i(t)=0 \ \)であるので,\( \ A=-I_{0} \ \)となるから,
\[
\begin{eqnarray}
i(t) &=& I_{0}-I_{0}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \\[ 5pt ] &=& I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。よって,\( \ t=T \ \)の時の電流の大きさ\( \ i(T) \ \)は,
\[
i(T) =I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right)
\] となる。

(3)解答:ヲ
スイッチをOFFとした時の微分方程式は,
\[
L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}=-Ri
\] であるから,(2)と同様に一般解を求めると,
\[
i(t) =A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t}
\] となり,(2)より,\( \ \displaystyle i(T)=I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) &=& A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \\[ 5pt ] A&=& I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\( \ T < t < 2T \ \)での電流は,
\[
i(t) =I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t}
\] となる。よって,
\[
\begin{eqnarray}
\frac{i(2T)}{i(T)} &=& \frac{I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} 2T}}{I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1\right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:カ
題意より,
\[
\begin{eqnarray}
&&\left[ i(T) +i(2T)\right] \times \fbox {  (3)  }+I\times \fbox {  (2)  } \\[ 5pt ] &=& \left[ i(T) +i(2T)\right] \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) \\[ 5pt ] &=& I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) \\[ 5pt ] &=& I
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:チ
\( \ i(T)+i(2T)=I \ \)が成立するとき,
\[
\begin{eqnarray}
I&=& I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {2R}{L} T} \\[ 5pt ] &=& I_{0}-I_{0} \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I_{0} \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}-I_{0} \mathrm {e}^{-\frac {2R}{L} T} \\[ 5pt ] &=& I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L} T}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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