《電力》〈配電〉[R4上:問17]配電線の送電電力及び力率変化後の送電電力の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 1 \ \)回線の専用配電線がある。変電所の送り出し電圧が\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {V} \ \)，末端にある負荷の端子電圧が\( \ 6 \ 450 \ \mathrm {V} \ \)，力率が遅れの\( \ 70 \ \mathrm {％} \ \)であるとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし，電線\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗は\( \ 0.45 \ \mathrm {\Omega ／ km} \ \)，リアクタンスは\( \ 0.35 \ \mathrm {\Omega ／ km} \ \)，線路のこう長は\( \ 5 \ \mathrm {km} \ \)とする。

(a)　この負荷に供給される電力\( \ P_{1} \ \)の値\( \ \mathrm {[kW]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 180 \ \)　　(2)　\( \ 200 \ \)　　(3)　\( \ 220 \ \)　　(4)　\( \ 240 \ \)　　(5)　\( \ 260 \ \)

(b) 負荷が遅れ力率\( \ 80 \ \mathrm {％} \ \)，\( \ P_{2} \ \mathrm {[kW]} \ \)に変化したが線路損失は変わらなかった。\( \ P_{2} \ \)の値\( \ \mathrm {[kW]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 254 \ \)　　(2)　\( \ 274 \ \)　　(3)　\( \ 294 \ \)　　(4)　\( \ 314 \ \)　　(5)　\( \ 334 \ \)

【ワンポイント解説】

配電線路の電圧降下と力率から，負荷に供給される電力を求め，その結果を用いて力率変化後の電力を求める問題です。
電圧降下の近似式を使用することに気付けばそれほど苦戦せずに解くことが可能かと思います。

1.配電線の電圧降下の近似式
①単相\( \ 2 \ \)線式送電線の電圧降下
単相\( \ 2 \ \)線式線路は図1のような回路になり，負荷に対して供給される線路と戻りの線路の\( \ 2 \ \)段階で電圧降下が発生します。したがって，負荷の力率が遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)であるときのベクトル図を描くと図2のようになります。
図2のベクトル図において，\( \ \dot E \ \)と\( \ \dot V \ \)の位相差が十分に小さいと仮定すると，線路の電圧降下\( \ \varepsilon =E-V \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&≃&V+2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ] E-V&=&2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ] \varepsilon &=&2I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

②三相\( \ 3 \ \)線式送電線の電圧降下
三相回路においては，一相分の等価回路及びベクトル図は図3及び図4のように描くことができ，三相分の電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E}{\sqrt {3}}&≃&\frac {V}{\sqrt {3}}+RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ] \frac {E}{\sqrt {3}}-\frac {V}{\sqrt {3}}&=&RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ] E-V&=&\sqrt {3}\left( RI\cos \theta +XI\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

2.三相\( \ 3 \ \)線式線路の有効電力\( \ P \ \)
三相\( \ 3 \ \)線式の配電線の線間電圧が\( \ V \ \)，線電流が\( \ I \ \)，電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき，送電電力\( \ P \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(4)
題意に沿って図を描くと図5のようになる。
送電線の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及びリアクタンス\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&0.45\times 5 \\[ 5pt ] &=&2.25 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] X&=&0.35\times 5 \\[ 5pt ] &=&1.75 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，力率\( \ \cos \theta =0.7 \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1- \cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1- 0.7 ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {0.51} \\[ 5pt ] &≒&0.7141 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，ワンポイント解説「1.配電線の電圧降下の近似式」より，送電線を流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}} &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] I &=&\frac {V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {6600-6450}{\sqrt {3}\times \left( 2.25\times 0.7 +1.75\times 0.7141 \right) } \\[ 5pt ] &≒&30.66 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，負荷に供給される電力\( \ P_{1} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「2.三相\( \ 3 \ \)線式線路の有効電力\( \ P \ \)」より，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 6450\times 30.66\times 0.7 \\[ 5pt ] &≒&240 \ 000 \ \mathrm {[W]}　→　240 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
線路損失\( \ RI^{2} \ \)は変わらなかったので，配電線に流れる電流は\( \ I=30.66 \ \mathrm {[A]} \ \)のままである。
力率が\( \ \cos \theta ^{\prime }=0.8 \ \)に変化したことより，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta ^{\prime }&=&\sqrt {1- \cos ^{2}\theta ^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1- 0.8 ^{2}} \\[ 5pt ] &=&0.6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，ワンポイント解説「1.配電線の電圧降下の近似式」より，受電端電圧\( \ V_{\mathrm {r}}^{\prime } \ \mathrm {[V]} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}^{\prime } &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta ^{\prime }+X\sin \theta ^{\prime }\right) \\[ 5pt ] V_{\mathrm {r}}^{\prime } &=&V_{\mathrm {s}}-\sqrt {3}I\left( R\cos \theta ^{\prime }+X\sin \theta ^{\prime }\right) \\[ 5pt ] &=&6600-\sqrt {3}\times 30.66 \times \left( 2.25\times 0.8+1.75\times 0.6\right) \\[ 5pt ] &≒&6 \ 449 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，負荷に供給される電力\( \ P_{2} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「2.三相\( \ 3 \ \)線式線路の有効電力\( \ P \ \)」より，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}^{\prime }I\cos \theta ^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 6449\times 30.66 \times 0.8 \\[ 5pt ] &≒&274 \ 000 \ \mathrm {[W]}　→　274 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

※　実際の試験では，選択肢の値が\( \ 20 \ \mathrm {[kW]} \ \)毎と大きいため，力率が変化しても受電端電圧はほとんど変化しないと考え，最終の式のみ計算して
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I\cos \theta ^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 6450\times 30.66 \times 0.8 \\[ 5pt ] &≒&274 \ 000 \ \mathrm {[W]}　→　274 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と正答を導き出しても良いかと思います。