《理論》〈電気及び電子計測〉[H18:問16]ブリッジ回路による未知抵抗の特定に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のブリッジ回路を用いて，未知抵抗\( \ R_{x} \ \)を測定したい。抵抗\( \ R_{1}=3 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)，\( \ R_{2}=2 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)，\( \ R_{4}=3 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)とし，\( \ R_{3}=6 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)の滑り抵抗器の接触子の接点\( \ \mathrm {C} \ \)をちょうど中央に調整したとき\( \ \left( R_{ac}=R_{bc}=3 \ \mathrm {[k\Omega ]}\right) \ \)ブリッジが平衡したという。次の(a)及び(b)に答えよ。

ただし，直流電圧源は\( \ 6 \ \mathrm {[V]} \ \)とし，電流計の内部抵抗は無視できるものとする。

(a)　未知抵抗\( \ R_{x} \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)の値として，正しいのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 0.1 \ \)　　(2)　\( \ 0.5 \ \)　　(3)　\( \ 1.0 \ \)　　(4)　\( \ 1.5 \ \)　　(5)　\( \ 2.0 \ \)

(b)　平衡時の電流計の指示値\( \ \mathrm {[mA]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 0 \ \)　　(2)　\( \ 0.4 \ \)　　(3)　\( \ 1.5 \ \)　　(4)　\( \ 1.7 \ \)　　(5)　\( \ 2.0 \ \)

【ワンポイント解説】

ブリッジ回路による未知抵抗の導出と回路に流れる電流を求める問題です。
電験で出題されやすいブリッジ回路の平衡条件を用いて解く問題で，難易度はそれほど高くありませんが，(b)の電流計の指示値を検流計の指示値と勘違いしてしまう受験生が多い問題です。問題文をしっかりと読んでもったいないミスをしないように注意して下さい。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.直流ブリッジ回路の平衡条件
直流ブリッジ回路は抵抗の抵抗値を求める方法であり，ホイートストンブリッジと呼ばれます。
図1の回路において，検出器\( \ Ⓓ \ \)に電流が流れない条件を平衡条件と言い，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}R_{4} &=& R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。したがって，３つの既知の抵抗があれば，残りの１つの抵抗値を求めることができます。

【解答】

(a)解答：(3)
滑り抵抗器の接触子の接点\( \ \mathrm {C} \ \)をちょうど中央に調整したとき\( \ \left( R_{ac}=R_{bc}=3 \ \mathrm {[k\Omega ]}\right) \ \)の回路を図2に示す。
このとき，ブリッジ回路の平衡条件が成立するので，ワンポイント解説「2.直流ブリッジ回路の平衡条件」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}\left( R_{x}+R_{bc}\right) &=& R_{2}\left( R_{4}+R_{ac}\right) \\[ 5pt ] 3\times \left( R_{x}+3\right) &=& 2\times \left( 3+3\right) \\[ 5pt ] R_{x}+3 &=& 4 \\[ 5pt ] R_{x} &=& 1 \ \mathrm {[k\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
ブリッジ回路の平衡条件が成立するとき，検流計には電流が流れないので，回路は図3のように書き換えられる。
回路の合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.合成抵抗」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {\left( R_{1}+R_{4}+R_{ac}\right) \left( R_{2}+R_{x}+R_{bc}\right) }{\left( R_{1}+R_{4}+R_{ac}\right) +\left( R_{2}+R_{x}+R_{bc}\right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {\left( 3+3+3\right) \times \left( 2+1+3\right) }{\left( 3+3+3\right) +\left( 2+1+3\right) } \\[ 5pt ] &=& 3.6 \ \mathrm {[k\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電流計の指示値\( \ I_{a} \ \mathrm {[mA]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{a} &=& \frac {6}{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {6}{3.6\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒& 1.67\times 10^{-3} \ \mathrm {[A]}　→　1.7 \ \mathrm {[mA]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。