《理論》〈電気回路〉[R07下:問16]回路を繋ぎ変えた直流回路の抵抗値と電流値に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図の直流回路において，次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)に答えよ。

ただし，電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の値は一定で変化しないものとする。

\( \ \mathrm {(a)} \ \)　図1のように抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を端子\( \ \mathrm {a} \ \)，\( \ \mathrm {d} \ \)間に接続したとき，\( \ I_{1}=4.5 \ \mathrm {A} \ \)，\( \ I_{2}=0.5 \ \mathrm {A} \ \)の電流が流れた。抵抗\( \ R \ \)の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 180 \ \)　　(2)　\( \ 160 \ \)　　(3)　\( \ 80 \ \)　　(4)　\( \ 40 \ \)　　(5)　\( \ 20 \ \)

\( \ \mathrm {(b)} \ \)　図1の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を図2のように端子\( \ \mathrm {b} \ \)，\( \ \mathrm {c} \ \)間に接続し直したとき，回路に流れる電流\( \ I_{3} \ \)の値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 5.5 \ \)　　(2)　\( \ 4.8 \ \)　　(3)　\( \ 4.5 \ \)　　(4)　\( \ 4.2 \ \)　　(5)　\( \ 4.0 \ \)

【ワンポイント解説】

回路を繋ぎ変えた直流回路の抵抗値と電流値に関する問題です。
(a)は易しいので確実に正答しておきたい問題ですが，(b)はやや難易度が高い問題です。網目電流法以外でも様々な解き方が考えられますが，ここでは計算量が比較的少なくて済む網目電流法で解説します。
本問は平成17年問15からの再出題となります。

1.網目電流法
キルヒホッフの法則の一つで，閉回路に流れる網目電流に着目し，回路方程式を立てる方法です。
例えば図3の回路で，各網目電流を\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)及び\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とおけば，回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&R_{3}\left( I_{1}-I_{2}\right) +RI_{1} \\[ 5pt ] E_{2}&=&R_{2}I_{2}+R_{3}\left( I_{2}-I_{1}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] のように立てることができます。

【解答】

(a)解答：(3)
図1-1に示す回路の上下の合成抵抗は\( \ R_{\mathrm {A}}=20 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)なので，そこに流れる電流\( \ I_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {A}}&=&\frac {I_{1}-I_{2}}{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {4.5-0.5}{2} \\[ 5pt ] &=&2.0 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&R_{\mathrm {A}}I_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] &=&20\times 2.0 \\[ 5pt ] &=&40 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，求める抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {E}{I_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {40.0}{0.5} \\[ 5pt ] &=&80 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
図2-1に示すように各網目電流\( \ I_{Ⅰ} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ I_{Ⅱ} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ I_{Ⅲ} \ \mathrm {[A]} \ \)を設定する。
各回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&16\left( I_{Ⅰ}+I_{Ⅲ}\right) +4I_{Ⅰ} \\[ 5pt ] 40&=&20I_{Ⅰ}+16I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] 10&=&5I_{Ⅰ}+4I_{Ⅲ}　　　　&・・・・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] E&=&4\left( I_{Ⅱ}-I_{Ⅲ}\right) +16I_{Ⅱ} \\[ 5pt ] 40&=&20I_{Ⅱ}-4I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] 10&=&5I_{Ⅱ}-I_{Ⅲ} &・・・・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] 0&=&16\left( I_{Ⅰ}+I_{Ⅲ}\right)+80I_{Ⅲ}+4\left( I_{Ⅲ}-I_{Ⅱ}\right)\\[ 5pt ] &=&16I_{Ⅰ}-4I_{Ⅱ}+100I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] &=&4I_{Ⅰ}-I_{Ⅱ}+25I_{Ⅲ} &・・・・・・・・・・　③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，①及び②より，
\[
\begin{eqnarray}
5I_{Ⅰ}&=&10-4I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] I_{Ⅰ}&=&\frac {10-4I_{Ⅲ}}{5}　　　　　　　　　　　　　&・・・・・・・・・・　①^{\prime }& \\[ 5pt ] 5I_{Ⅱ}&=&10-I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] I_{Ⅱ}&=&\frac {10+I_{Ⅲ}}{5} &・・・・・・・・・・　②^{\prime }& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，これを③に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&4I_{Ⅰ}-I_{Ⅱ}+25I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] &=&4\cdot \frac {10-4I_{Ⅲ}}{5} – \frac {10+I_{Ⅲ}}{5}+25I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] &=&4\left( 10-4I_{Ⅲ}\right) -\left( 10+I_{Ⅲ}\right) +125I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] &=&30+108I_{Ⅲ} \\[ 5pt ] 108I_{Ⅲ}&=&-30 \\[ 5pt ] I_{Ⅲ}&=&-0.277 \ 8 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これを\( \ ①^{\prime } \ \)及び\( \ ②^{\prime } \ \)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{Ⅰ}&=&\frac {10-4I_{Ⅲ}}{5} \\[ 5pt ] &=&\frac {10-4\times \left( -0.277 \ 8\right) }{5} \\[ 5pt ] &≒&2.222 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] I_{Ⅱ}&=&\frac {10+I_{Ⅲ}}{5} \\[ 5pt ] &=&\frac {10-0.277 \ 8}{5} \\[ 5pt ] &≒&1.944 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ I_{3} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{3}&=&I_{Ⅰ}+I_{Ⅱ} \\[ 5pt ] &=&2.222+1.944 \\[ 5pt ] &≒&4.2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。