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【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
図に示すように，フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において，\( \ T=0.2 \ \mathrm {s} \ \)，\( \ K=10 \ \)としたとき，次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。
ただし，\( \ \omega \ \)は角周波数\( \ \mathrm {[rad / s]} \ \)を表す。
\(\mathrm {(a)}\) 入力を\( \ R(\mathrm {j}\omega ) \ \)，出力を\( \ C(\mathrm {j}\omega ) \ \)とする全体の周波数伝達関数\( \ W(\mathrm {j}\omega ) \ \)として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ \displaystyle \frac {1}{1+\mathrm {j}0.2\omega } \ \) (2) \( \ \displaystyle \frac {10}{1+\mathrm {j}0.2\omega } \ \) (3) \( \ \displaystyle \frac {1}{1+\mathrm {j}5\omega } \ \)
(4) \( \ \displaystyle \frac {50\omega }{1+\mathrm {j}5\omega } \ \) (5) \( \ \displaystyle \frac {\mathrm {j}2\omega }{1+\mathrm {j}0.2\omega } \ \)
\(\mathrm {(b)}\) 次のボード線図には，正確なゲイン特性を実線で，その折線近似ゲイン特性を破線で示し，横軸には特に折れ点角周波数の数値を示している。上記\( \ \mathrm {(a)} \ \)の周波数伝達関数\( \ W(\mathrm {j}\omega ) \ \)のボード線図のゲイン特性として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，横軸は角周波数\( \ \omega \ \)の対数軸であり，\( \ -20 \ \mathrm{[dB/dec]} \ \)とは，\( \ \omega \ \)が\( \ 10 \ \)倍大きくなるに従って\( \ \left| W(\mathrm {j}\omega ) \right| \ \)が\( \ -20 \ \mathrm{dB} \ \)変化する傾きを示している。
【ワンポイント解説】
周波数伝達関数とゲイン特性に関する問題です。
\( \ \mathrm {(a)} \ \)は確実に正答しておきたい問題，\( \ \mathrm {(b)} \ \)は発展的な問題となります。合格に向けては\( \ \mathrm {(a)} \ \)を確実に正答できるようにしておきましょう。
本問は平成27年問17からの再出題となります。
1.ブロック線図の考え方
①直列
図1のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \)，\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)G_{2}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②並列
図2のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \)，\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)±G_{2}(s) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
③フィードバック
図3のような\( \ G(s) \ \)，\( \ H(s) \ \)が与えられているとき，全体の伝達関数\( \ W(s) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&\left\{ X(s) -H(s)Y(s) \right\} G(s) \\[ 5pt ]
Y(s)&=&G(s)X(s) -G(s)H(s)Y(s) \\[ 5pt ]
Y(s)+G(s)H(s)Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ]
\left\{ 1+G(s)H(s)\right\} Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ]
\frac {Y(s)}{X(s)}&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ]
W(s)&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.ボード線図
周波数伝達関数が\( \ \displaystyle W(\mathrm {j}\omega ) =\frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T} \ \)で与えられる時，ゲイン\( \ g \ \mathrm {[dB]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+\left( \omega T\right) ^{2}}} \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となりますが，\( \ \displaystyle \omega \ll \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \ll 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+0}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10}K \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
とほぼ一定の値となり，\( \ \displaystyle \omega \gg \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \gg 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\omega T} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} K-20\log _{10}\omega T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，横軸に対数座標をとると，ほぼ直線的に減少していくことになります。したがって，ボード線図は図4のようになります。
図4において\( \ \displaystyle \omega =\frac {1}{T} \ \)となる角周波数を折れ点角周波数と呼びます。
【解答】
(a)解答：(2)
図5に示すフィードバック部の伝達関数\( \ G (\mathrm {j}\omega ) \ \)は，ワンポイント解説「1.ブロック線図の考え方」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
G (\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T}}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T}}{\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega T}{\mathrm {j}\omega T}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ R (\mathrm {j}\omega ) \ \)から\( \ C (\mathrm {j}\omega ) \ \)までの伝達関数\( \ W (\mathrm {j}\omega ) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C (\mathrm {j}\omega ) &=&G (\mathrm {j}\omega ) \cdot K \cdot R (\mathrm {j}\omega ) \\[ 5pt ]
C (\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T} \cdot K \cdot R (\mathrm {j}\omega ) \\[ 5pt ]
\frac {C (\mathrm {j}\omega ) }{R (\mathrm {j}\omega ) } &=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T} \cdot K \\[ 5pt ]
W (\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{1+\mathrm {j}0.2\omega } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(2)
周波数伝達関数\( \ W(\mathrm {j}\omega ) \ \)のゲイン\( \ g \ \mathrm {[dB]} \ \)は，ワンポイント解説「2.ボード線図」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \left| \frac {10}{1+\mathrm {j}0.2\omega }\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {10}{\sqrt{ 1^{2}+(0.2\omega )^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {10}{\sqrt{ 1+0.04\omega ^{2} }}\\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} 10-20\log _{10} \sqrt{ 1+0.04\omega ^{2} } \\[ 5pt ]
&=&20-10\log _{10} \left( 1+0.04\omega ^{2} \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。
ここで，
\( \ \omega =0 \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
g (0) &=&20-10\log _{10} \left( 1+0.04\times 0 ^{2} \right) \\[ 5pt ]
&=&20-10\log _{10} 1 \\[ 5pt ]
&=&20 \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ \omega =0.2 \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
g (0.2) &=&20-10\log _{10} \left( 1+0.04\times 0.2 ^{2} \right) \\[ 5pt ]
&=&20-10\log _{10} \left( 1+0.08 \right) \\[ 5pt ]
&≒&20 \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ \omega =5 \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
g (5) &=&20-10\log _{10} \left( 1+0.04\times 5 ^{2} \right) \\[ 5pt ]
&=&20-10\log _{10} \left( 1+1 \right) \\[ 5pt ]
&≒&17 \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，最も適当なのは(2)と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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