【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
二つの同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ \mathrm {B} \ \)を図に示すように平衡した三相交流の母線に接続し並行運転するとき，両発電機の起電力\( \ {\dot E}_{1} \ \)と\( \ {\dot E}_{2} \ \)が等しくなるように発電機の速度および界磁電流が調整される。起電力\( \ {\dot E}_{1} \ \)と\( \ {\dot E}_{2} \ \)に差がある場合，両発電機間には横流と呼ばれる循環電流が流れ，損失増加の一要因となる。発電機\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ \mathrm {B} \ \)は同一仕様で同一特性を持ち，同一速度で回転している。定格電圧\( \ V_{\mathrm {n}} \ \)は\( \ 6 \ 000 \ \mathrm {V} \ \)，定格容量\( \ P \ \)は\( \ 4 \ 500 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)，短絡比\( \ S \ \)は\( \ 1.25 \ \)である。\( \ {\dot E}_{1} \ \)と\( \ {\dot E}_{2} \ \)の差が\( \ \left| {\dot E}_{1} – {\dot E}_{2}\right| =400 \ \mathrm {V} \ \)であるとき，横流の実効値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 18.0 \ \) (2) \( \ 31.3 \ \) (3) \( \ 54.1 \ \) (4) \( \ 62.5 \ \) (5) \( \ 108 \ \)
【ワンポイント解説】
同期発電機を並行運転した際に発生する横流に関する問題です。
様々な知識を複合して解いていく必要がある難問ですが，一つ一つ求められるものを順に求めていくとゴールが見えてくるかと思います。
1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス（パーセントインピーダンス）\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 (定義) \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.同期発電機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線
同期発電機は図1のような無負荷飽和曲線と三相短絡曲線の特性があります。
無負荷飽和曲線は定格速度で無負荷で運転したときの界磁電流と端子電圧の関係，三相短絡曲線は電機子巻線の三相の出力端子を短絡し定格速度で運転したときの界磁電流と三相短絡電流の関係，を表したものです。
図中の\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)は定格電圧，\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)は定格電流，三相短絡曲線は曲線ですが，ほぼ比例の直線と近似できます。
この時，\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は定格電圧時の三相短絡電流であり，短絡比\( \ K \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
K &=& \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}=\frac {I_{\mathrm {f1}}}{I_{\mathrm {f2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.百分率インピーダンスと短絡比の関係
同期発電機の百分率同期インピーダンスが\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)，短絡比が\( \ K \ \)であるとき，その関係は，
\[
\begin{eqnarray}
K&=&\frac {100}{％Z} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
※百分率インピーダンスの定義式等を用いて\( \ \displaystyle I_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \ \)から上式を求めることはできますが，試験時には暗記しておいた方が良いと思います。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ]
\frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ]
K&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}\times 100}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {100}{％Z_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
4.同期発電機の無効循環電流（無効横流），同期化電流
同期発電機の並行運転時の一相分等価回路は電機子巻線抵抗を無視すると図2のようになり，回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
\dot I &=& {\dot I}_{\mathrm {A}}+{\dot I}_{\mathrm {B}} & ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ①& \\[ 5pt ]
\dot V &=& {\dot E}_{\mathrm {A}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {A}}{\dot I}_{\mathrm {A}} & ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ②& \\[ 5pt ]
\dot V &=& {\dot E}_{\mathrm {B}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {B}}{\dot I}_{\mathrm {B}} & ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ③& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，②式及び③式より，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {A}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {A}}{\dot I}_{\mathrm {A}} &=& {\dot E}_{\mathrm {B}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {B}}{\dot I}_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，①式を代入して\( \ {\dot I}_{\mathrm {B}} \ \)を消去すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {A}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {A}}{\dot I}_{\mathrm {A}} &=& {\dot E}_{\mathrm {B}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {B}}\left( \dot I -{\dot I}_{\mathrm {A}}\right) \\[ 5pt ]
{\dot E}_{\mathrm {A}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {A}}{\dot I}_{\mathrm {A}} &=& {\dot E}_{\mathrm {B}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {B}}\dot I +\mathrm {j}X_{\mathrm {B}}{\dot I}_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
\mathrm {j}\left( X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}\right) {\dot I}_{\mathrm {A}} &=& {\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}+\mathrm {j}X_{\mathrm {B}}\dot I \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {A}} &=& \frac {X_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\dot I+\frac {{\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}}{\mathrm {j}\left( X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}\right) } \\[ 5pt ]
&=& \frac {X_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\dot I-\mathrm {j}\frac {{\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}} ・・・・・・・・・ ④ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {B}}&=&\dot I – {\dot I}_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {X_{\mathrm {A}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\dot I+\mathrm {j}\frac {{\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}} \ \ ・・・・・・・・・・・・・ ⑤ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，端子電圧\( \ \dot V \ \)は，②式に④式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V &=& {\dot E}_{\mathrm {A}}-\mathrm {j}X_{\mathrm {A}}\left( \frac {X_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\dot I-\mathrm {j}\frac {{\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {\left( X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}\right) {\dot E}_{\mathrm {A}} }{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}-\frac {X_{\mathrm {A}}\left( {\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}\right) }{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}-\mathrm {j}\frac {X_{\mathrm {A}}X_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\dot I \\[ 5pt ]
&=& \frac {X_{\mathrm {A}}{\dot E}_{\mathrm {B}}+X_{\mathrm {B}}{\dot E}_{\mathrm {A}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}-\mathrm {j}\frac {X_{\mathrm {A}}X_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}\dot I ・・・・・・・・・・ ⑥ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。さらに，④式，⑤式を比較すると循環電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {c}}&=&-\mathrm {j}\frac {{\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}}{X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}}= \frac {{\dot E}_{\mathrm {A}}-{\dot E}_{\mathrm {B}}}{\mathrm {j}\left( X_{\mathrm {A}}+X_{\mathrm {B}}\right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。上式より，循環電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)は\( \ {\dot E}_{\mathrm {A}} \ \)と\( \ {\dot E}_{\mathrm {B}} \ \)の位相が等しく大きさが異なる時には，無効循環電流（無効横流）が流れ，\( \ {\dot E}_{\mathrm {A}} \ \)と\( \ {\dot E}_{\mathrm {B}} \ \)の大きさが等しく位相が異なる時には，有効電流（同期化電流）が流れることが分かります。
これをベクトル図で表すと図3及び図4となります。
【解答】
解答：(2)
短絡比\( \ S=1.25 \ \)より，同期発電機の百分率インピーダンス\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「3.百分率インピーダンスと短絡比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {100}{S} \\[ 5pt ]
&=&\frac {100}{1.25} \\[ 5pt ]
&=&80 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，同期インピーダンス\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ]
Z&=&\frac {％ZV_{\mathrm {n}}^{2}}{100P_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {80\times 6 \ 000^{2}}{100\times 4 \ 500 \times 10^{3} } \\[ 5pt ]
&=&6.4 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，ワンポイント解説「4.同期発電機の無効循環電流（無効横流），同期化電流」の通り，回路は図5のようになり，横流の実効値\( \ I_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {c}}&=&\frac {\left| {\dot E}_{1} – {\dot E}_{2}\right| }{2Z} \\[ 5pt ]
&=&\frac {400 }{2\times 6.4} \\[ 5pt ]
&=&31.3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
