《機械》〈自動制御〉[H30:問13]ブロック線図の伝達関数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号\( \ C \left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)の入力信号\( \ R \left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)に対する比，すなわち\(\displaystyle \frac {C \left( \mathrm {j}\omega \right) }{R \left( \mathrm {j}\omega \right) }\)を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(\displaystyle \frac {T_{1}+\mathrm {j}\omega }{T_{2}+\mathrm {j}\omega }\)　　(2)　\(\displaystyle \frac {T_{2}+\mathrm {j}\omega }{T_{1}+\mathrm {j}\omega }\)　　(3)　\(\displaystyle \frac {\mathrm {j}\omega T_{1} }{1+\mathrm {j}\omega T_{2} }\)　
　(4)　\(\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1} }{1+\mathrm {j}\omega T_{2} }\)　　(5)　\(\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega \displaystyle \frac {T_{1}}{T_{2}} }{1+\mathrm {j}\omega T_{2} }\)

【ワンポイント解説】

ブロック線図と伝達関数に関する問題です。公式や等価変換表を暗記しても良いですが，なぜそうなるかを理解し，問題を解きながら徐々に覚えていくのが良いと思います。別解のように手計算で導出可能な場合も多いので，そのように解いても良いと思います。

【解答】

解答：(4)
問題の回路を等価変換すると図1のようになる。

図1より，中間部の信号を\( \ X \left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
X \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T_{2}}}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega T_{2}}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
C \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\mathrm {j}\omega T_{2}\cdot \frac {T_{1}}{T_{2}}X \left( \mathrm {j}\omega \right) +X \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left( 1+\mathrm {j}\omega T_{1}\right) X \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left( 1+\mathrm {j}\omega T_{1}\right) \frac {1}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1}}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(別解)
問題図の中間部の信号を図2のように置く。

図2より，
\[
\begin{eqnarray}
R \left( \mathrm {j}\omega \right) -X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) 　　&・・・・・①& \\[ 5pt ] X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega T_{2}} X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) 　　&・・・・・②& \\[ 5pt ] C \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) 　　&・・・・・③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(②\)より，
\[
\begin{eqnarray}
X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\mathrm {j}\omega T_{2}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right)　　　　　　　　　　　　　　　　　&・・・・・②^{\prime }& \\[ 5pt ] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，これを\(①\)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
R \left( \mathrm {j}\omega \right) -X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\mathrm {j}\omega T_{2}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] R \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left( 1 +\mathrm {j}\omega T_{2}\right) X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {1}{1 +\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right)　　　　　　&・・・・・④& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(②^{\prime }\)及び\(④\)を\(③\)に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C \left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}X_{1} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}\cdot \mathrm {j}\omega T_{2}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=& \mathrm {j}\omega T_{1}X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) +X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=& \left( 1+ \mathrm {j}\omega T_{1}\right) X_{2} \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=& \left( 1+ \mathrm {j}\omega T_{1}\right) \cdot \frac {1}{1 +\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1+\mathrm {j}\omega T_{1}}{1+\mathrm {j}\omega T_{2}}R \left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。