《機械》〈情報伝送及び処理〉[R01:問14]2進数の演算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

$\ 2 \ $進数$\ A \ $と$\ B \ $がある。それらの和が$\ A+B=\left( 101010\right) _{2} \ $，差が$\ A-B=\left( 1100\right) _{2} \ $であるとき，$\ B \ $の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　$\ \left( 1110 \right) _{2} \ $　　(2)　$\ \left( 1111 \right) _{2} \ $　　(3)　$\ \left( 10011 \right) _{2} \ $　　(4)　$\ \left( 10101 \right) _{2} \ $　　(5)　$\ \left( 11110 \right) _{2} \ $

【ワンポイント解説】

直接計算する方法、$\ 10 \ $進数に変換してから解く方法等様々な解法が考えられます。どのやり方でも正答が出れば問題ありません。

【解答】

解答：(2)
題意より$\ B \ $を導出するため，$\ A+B \ $から$\ A-B \ $を引くと，

$$\begin{array}{ccccccccc} & A+B & = & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -) & A-B & = & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline & 2B & = & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$$ となるので，両辺$\ 2 \ $で割ると，右辺は一桁下がるので，
$$\begin{array}{ccccccccc} & B & = & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}$$ となり，解答は$\ \left( 1111 \right) _{2} \ $と求められる。

[別解]
$\ 2 \ $進数を$\ 10 \ $進数にするためには各桁に$\ 2^{x}(x=0,1,2・・・) \ $乗をかけて導出する。本問においては，

$$\begin{eqnarray} A+B &=&\left( 101010\right) _{2} \\[ 5pt ] &=&1\times 2^{5}+0\times 2^{4}+1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+0\times 2^{0} \\[ 5pt ] &=&32+0+8+0+2+0 \\[ 5pt ] &=&42 　・・・・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] A-B &=&\left( 1100\right) _{2} \\[ 5pt ] &=&1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+0\times 2^{0} \\[ 5pt ] &=&8+4+0+0 \\[ 5pt ] &=&12 　・・・・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，$\ ①-② \ $より，
$$\begin{eqnarray} 2B &=&30 \\[ 5pt ] B&=&15 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。$\ 10 \ $進数を$\ 2 \ $進数にするためには，$\ 10 \ $進数を$\ 2 \ $で割っていき，その余りの数を下から並べると求められるので，

となり，解答は$\ \left( 1111 \right) _{2} \ $となる。