《機械》〈回転機〉[R01:問15]発電機の並行運転に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

並行運転している\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)の\( \ 2 \ \)台の三相同期発電機がある。それぞれの発電機の負荷分担が同じ\( \ 7300 \ \mathrm {kW} \ \)であり，端子電圧が\( \ 6600 \ \mathrm {V} \ \)のとき，三相同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の負荷電流\( \ I_{\mathrm {A}} \ \)が\( \ 1000 \ \mathrm {A} \ \)，三相同期発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の負荷電流\( \ I_{\mathrm {B}} \ \)が\( \ 800 \ \mathrm {A} \ \)であった。損失は無視できるものとして，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　三相同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の力率の値\( \ \mathrm {[％]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 48 \ \)　　(2)　\( \ 64 \ \)　　(3)　\( \ 67 \ \)　　(4)　\( \ 77 \ \)　　(5)　\( \ 80 \ \)

(b)　\( \ 2 \ \)台の発電機の合計の負荷が調整の前後で変わらずに一定に保たれているものとして，この状態から三相同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)の励磁及び駆動機の出力を調整し，三相同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の負荷電流は調整前と同じ\( \ 1000 \ \mathrm {A} \ \)とし，力率は\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)とした。このときの三相同期発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の力率の値\( \ \mathrm {[％]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，端子電圧は変わらないものとする。

　(1)　\( \ 22 \ \)　　(2)　\( \ 50 \ \)　　(3)　\( \ 71 \ \)　　(4)　\( \ 87 \ \)　　(5)　\( \ 100 \ \)

【ワンポイント解説】

(a)は基本問題，(b)は2種や1種の二次試験でも出題されそうな問題となっています。(a)が解ければ基本的には合格圏内には到達できると考えておいて下さい。

1.同期発電機の電力\( \ P \ \)
同期発電機の無負荷誘導起電力が\( \ E \ \)，端子電圧が\( \ V \ \)，同期インピーダンスが\( \ X \ \)，負荷電流が\( \ I \ \)，相差角(\( \ E \ \)と\( \ V \ \)の位相差)が\( \ \delta \ \)，力率角(\( \ V \ \)と\( \ I \ \)の位相差)が\( \ \theta \ \)である時，同期発電機の電力\( \ P \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] もしくは，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {EV}{X}\sin \delta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。どちらの式も扱えるようにしておきましょう。

【解答】

(a)解答：(2)
ワンポイント解説「1.同期発電機の電力\( \ P \ \)」より，三相同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の電力\( \ P_{\mathrm {A}} \ \)と力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {A}} \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}} &=&\sqrt {3} VI\cos \theta _{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] \cos \theta _{\mathrm {A}} &=&\frac {P_{\mathrm {A}}}{\sqrt {3} VI} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{\mathrm {A}} &=&\frac {7300\times 10^{3}}{\sqrt {3} \times 6600 \times 1000} \\[ 5pt ] &≒&0.639　→　64 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(1)
\( \ \mathrm {A} \ \)と同様に三相同期発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の電力\( \ P_{\mathrm {B}} \ \)と力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {B}} \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {B}} &=&\sqrt {3} VI\cos \theta _{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] \cos \theta _{\mathrm {B}} &=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{\sqrt {3} VI} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{\mathrm {B}}&=&\frac {7300\times 10^{3}}{\sqrt {3} \times 6600 \times 800} \\[ 5pt ] &≒&0.798 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，調整前のそれぞれの無効電力\( \ Q_{\mathrm {A}} \ \)及び\( \ Q_{\mathrm {B}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {A}} &=&P_{\mathrm {A}} \tan \theta _{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {A}} \cdot \frac {\sin \theta _{\mathrm {A}}}{\cos \theta _{\mathrm {A}}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {A}} \cdot \frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{\mathrm {A}}}}{\cos \theta _{\mathrm {A}}} \\[ 5pt ] &=&7300 \cdot \frac {\sqrt {1-0.639 ^{2}}}{0.639} \\[ 5pt ] &≒&8790 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] Q_{\mathrm {B}} &=&P_{\mathrm {B}} \tan \theta _{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {B}} \cdot \frac {\sin \theta _{\mathrm {B}}}{\cos \theta _{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {B}} \cdot \frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{\mathrm {B}}}}{\cos \theta _{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ] &=&7300 \cdot \frac {\sqrt {1-0.798 ^{2}}}{0.798} \\[ 5pt ] &≒&5510 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，合計の無効電力\( \ Q \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&Q_{\mathrm {A}}+Q_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] &=&8790+5510 \\[ 5pt ] &=&14300 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。調整後の三相同期発電機\( \ \mathrm {A} \ \)の電力\( \ P_{\mathrm {A}}^{\prime } \ \)は力率\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}^{\prime } &=&\sqrt {3} VI \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 6600 \times 1000 \\[ 5pt ] &≒&11430 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，調整後の三相同期発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の電力\( \ P_{\mathrm {B}}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {B}}^{\prime } &=&7300\times 2-11430 \\[ 5pt ] &≒&3170 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，無効電力は調整後全て発電機\( \ \mathrm {B} \ \)が調整するので，発電機\( \ \mathrm {B} \ \)の無効電力\( \ Q_{\mathrm {B}}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {B}}^{\prime } &=&Q \\[ 5pt ] &=&14300 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，調整後の\( \ \mathrm {B} \ \)の力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {B}}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{\mathrm {B}}^{\prime } &=&\frac {P_{\mathrm {B}}^{\prime }}{\sqrt {{P_{\mathrm {B}}^{\prime }}^{2}+{Q_{\mathrm {B}}^{\prime }} ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3170}{\sqrt {3170^{2}+14300 ^{2}}} \\[ 5pt ] &≒&0.216　→　22 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。