《理論》〈電気回路〉[R2:問7]ブリッジ回路に流れる電流に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図のように，直流電源にスイッチ$\ \mathrm {S} \ $，抵抗$\ 5 \ $個を接続したブリッジ回路がある。この回路において，スイッチ$\ \mathrm {S} \ $を開いたとき，$\ \mathrm {S} \ $の両端間の電圧は$\ 1 \ \mathrm {V} \ $であった。スイッチ$\ \mathrm {S} \ $を閉じたときに$\ 8 \ \mathrm {\Omega } \ $の抵抗に流れる電流$\ I \ $の値$\ \mathrm {[A]} \ $として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　$\ 0.10 \ $　　(2)　$\ 0.75 \ $　　(3)　$\ 1.0 \ $　　(4)　$\ 1.4 \ $　　(5)　$\ 2.0 \ $

【ワンポイント解説】

ブリッジ回路が変形してあると，急に理解できなくなる受験生が多くいらっしゃいます。まずは見慣れている回路に書き換え，丁寧に解くようにしましょう。また，ブリッジ回路はパターン化されている問題が多いので，問題に慣れてくると確実に得点できる分野に変わります。

1.合成抵抗
抵抗$\ R_{1} \ $と$\ R_{2} \ $が与えられている時，それぞれの合成抵抗$\ R \ $は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗$\ R \ $は，

$$\begin{eqnarray} R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

②並列
並列合成抵抗$\ R \ $は，

$$\begin{eqnarray} \frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，整理すると，
$$\begin{eqnarray} R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

2.テブナンの定理
下図のような回路において，端子$\ \mathrm {a-b} \ $の開放電圧を$\ V_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[V]} \ $，端子$\ \mathrm {a-b} \ $から電源側をみた合成抵抗を$\ R_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $とする（ただし，電圧源は短絡，電流源は開放する）と，図の抵抗$\ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ $を流れる電流の大きさ$\ I \ \mathrm {[A]} \ $は，

$$\begin{eqnarray} I&=&\frac {V_{\mathrm {0}}}{R+R_{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ で求められます。

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【解答】

解答：(1)
問題図を書き換えると図2のようになる。

図2より，端子$\ \mathrm {a} \ $の開放電圧$\ V_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[V]} \ $及び端子$\ \mathrm {b} \ $の開放電圧$\ V_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[V]} \ $は，分圧の法則から，

$$\begin{eqnarray} V_{\mathrm {a}}&=&\frac {4}{1+4}\times 5 \\[ 5pt ] &=&4 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {b}}&=&\frac {3}{2+3}\times 5 \\[ 5pt ] &=&3 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，端子$\ \mathrm {a-b} \ $の開放電圧を$\ V_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[V]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} V_{\mathrm {0}}&=&V_{\mathrm {a}}-V_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] &=&4-3 \\[ 5pt ] &=&1 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ で問題文と一致する。
電圧源を短絡し，端子$\ \mathrm {a-b} \ $から電源側を見た回路は図3のように書き換えられるので，端子$\ \mathrm {a-b} \ $から電源側を見た合成抵抗$\ R_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} R_{\mathrm {0}}&=&\frac {1\times 4}{1+4}+\frac {2\times 3}{2+3} \\[ 5pt ] &=&0.8+1.2 \\[ 5pt ] &=&2 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。したがって，ワンポイント解説「2.テブナンの定理」より，$\ 8 \ \mathrm {\Omega } \ $の抵抗に流れる電流$\ I \ \mathrm {[A]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} I&=&\frac {V_{\mathrm {0}}}{R+R_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{8+2} \\[ 5pt ] &=&0.10 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。