《理論》〈電気回路〉[R2:問7]ブリッジ回路に流れる電流に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図のように，直流電源にスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)，抵抗\( \ 5 \ \)個を接続したブリッジ回路がある。この回路において，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いたとき，\( \ \mathrm {S} \ \)の両端間の電圧は\( \ 1 \ \mathrm {V} \ \)であった。スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じたときに\( \ 8 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗に流れる電流\( \ I \ \)の値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 0.10 \ \)　　(2)　\( \ 0.75 \ \)　　(3)　\( \ 1.0 \ \)　　(4)　\( \ 1.4 \ \)　　(5)　\( \ 2.0 \ \)

【ワンポイント解説】

ブリッジ回路が変形してあると，急に理解できなくなる受験生が多くいらっしゃいます。まずは見慣れている回路に書き換え，丁寧に解くようにしましょう。また，ブリッジ回路はパターン化されている問題が多いので，問題に慣れてくると確実に得点できる分野に変わります。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.テブナンの定理
下図のような回路において，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)の開放電圧を\( \ V_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[V]} \ \)，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)から電源側をみた合成抵抗を\( \ R_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とする（ただし，電圧源は短絡，電流源は開放する）と，図の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を流れる電流の大きさ\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V_{\mathrm {0}}}{R+R_{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【関連する「電気の神髄」記事】

　　鳳・テブナンの定理の証明

【解答】

解答：(1)
問題図を書き換えると図2のようになる。

図2より，端子\( \ \mathrm {a} \ \)の開放電圧\( \ V_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[V]} \ \)及び端子\( \ \mathrm {b} \ \)の開放電圧\( \ V_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，分圧の法則から，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {a}}&=&\frac {4}{1+4}\times 5 \\[ 5pt ] &=&4 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {b}}&=&\frac {3}{2+3}\times 5 \\[ 5pt ] &=&3 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)の開放電圧を\( \ V_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {0}}&=&V_{\mathrm {a}}-V_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] &=&4-3 \\[ 5pt ] &=&1 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で問題文と一致する。
電圧源を短絡し，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)から電源側を見た回路は図3のように書き換えられるので，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)から電源側を見た合成抵抗\( \ R_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {0}}&=&\frac {1\times 4}{1+4}+\frac {2\times 3}{2+3} \\[ 5pt ] &=&0.8+1.2 \\[ 5pt ] &=&2 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，ワンポイント解説「2.テブナンの定理」より，\( \ 8 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗に流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V_{\mathrm {0}}}{R+R_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{8+2} \\[ 5pt ] &=&0.10 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。