《理論》〈電気回路〉[H26:問9]共振周波数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図のように,二つの\(LC\)直列共振回路\(\mathrm {A}\),\(\mathrm {B}\)があり,それぞれの共振周波数が\(f_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[Hz]}\),\(f_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[Hz]}\)である。これら\(\mathrm {A}\),\(\mathrm {B}\)をさらに直列に接続した場合,全体としての共振周波数が\(f_{\mathrm {AB}} \ \mathrm {[Hz]}\)になった。\(f_{\mathrm {A}}\),\(f_{\mathrm {B}}\),\(f_{\mathrm {AB}}\)の大小関係として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) \(f_{\mathrm {A}}<f_{\mathrm {B}}<f_{\mathrm {AB}}\)  (2) \(f_{\mathrm {A}}<f_{\mathrm {AB}}<f_{\mathrm {B}}\)  (3) \(f_{\mathrm {AB}}<f_{\mathrm {A}}<f_{\mathrm {B}}\)

(4) \(f_{\mathrm {AB}}<f_{\mathrm {B}}<f_{\mathrm {A}}\)  (5) \(f_{\mathrm {B}}<f_{\mathrm {AB}}<f_{\mathrm {A}}\)

【ワンポイント解説】

電気の勉強に習熟してくると1秒で解けてしまう問題です。本問の場合,電流は力率が1の時最小となることを知っていれば,本問は下記のような計算は不要と思います。

1.直列回路の共振条件
共振条件は電圧と電流が同位相になる状態を言い,回路のリアクタンスが零になる状態のことを言います。図1の回路のリアクタンスは,角周波数を\(\omega =2\pi f\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
j\omega L +\frac {1}{j\omega C}&=&0 \\[ 5pt ] j\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \omega L &=& \frac {1}{\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の時共振となり,その共振角周波数と共振周波数は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] f &=&\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答:(5)
ワンポイント解説「1.直列回路の共振条件回路」の通り,回路\(\mathrm {A}\)の共振周波数\(f_{\mathrm {A}}\)は,
\[
f_{\mathrm {A}}=\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}}
\] であり,回路\(\mathrm {B}\)の共振周波数\(f_{\mathrm {B}}\)は,
\[
f_{\mathrm {B}}=\frac {1}{2\pi \sqrt {2LC}}
\] となり,さらに,\(\mathrm {A}\),\(\mathrm {B}\)を直列接続した場合の共振周波数\(f_{\mathrm {AB}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
f_{\mathrm {AB}} &=&\frac {1}{\displaystyle 2\pi \sqrt {3L\cdot \frac {C}{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\displaystyle 2\pi \sqrt {\frac {3}{2}LC }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので,\(f_{\mathrm {B}}<f_{\mathrm {AB}}<f_{\mathrm {A}}\)となる。