《理論》〈電気回路〉[H26:問9]LC直列回路の共振周波数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように，二つの\(LC\)直列共振回路\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)があり，それぞれの共振周波数が\(f_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[Hz]}\)，\(f_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[Hz]}\)である。これら\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)をさらに直列に接続した場合，全体としての共振周波数が\(f_{\mathrm {AB}} \ \mathrm {[Hz]}\)になった。\(f_{\mathrm {A}}\)，\(f_{\mathrm {B}}\)，\(f_{\mathrm {AB}}\)の大小関係として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　\(f_{\mathrm {A}}＜f_{\mathrm {B}}＜f_{\mathrm {AB}}\)　　(2)　\(f_{\mathrm {A}}＜f_{\mathrm {AB}}＜f_{\mathrm {B}}\)　　(3)　\(f_{\mathrm {AB}}＜f_{\mathrm {A}}＜f_{\mathrm {B}}\)

(4)　\(f_{\mathrm {AB}}＜f_{\mathrm {B}}＜f_{\mathrm {A}}\)　　(5)　\(f_{\mathrm {B}}＜f_{\mathrm {AB}}＜f_{\mathrm {A}}\)

【ワンポイント解説】

直列回路の共振条件は非常に重要な概念となるので，どうしてそうなるのかも含め，必ず算出できるようにしておきましょう。

1.直列回路の共振条件
共振条件は電圧と電流が同位相になる状態を言い，回路のリアクタンスが零になる状態のことを言います。図1の回路のリアクタンスは，角周波数を\(\omega =2\pi f\)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}\omega L +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&0 \\[ 5pt ] \mathrm {j}\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \omega L &=& \frac {1}{\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の時共振となり，その共振角周波数と共振周波数は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] f &=&\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

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【解答】

解答：(5)
ワンポイント解説「1.直列回路の共振条件回路」の通り，回路\(\mathrm {A}\)の共振周波数\(f_{\mathrm {A}}\)は，
\[
f_{\mathrm {A}}=\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}}
\] であり，回路\(\mathrm {B}\)の共振周波数\(f_{\mathrm {B}}\)は，
\[
f_{\mathrm {B}}=\frac {1}{2\pi \sqrt {2LC}}
\] となり，さらに，\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)を直列接続した場合の共振周波数\(f_{\mathrm {AB}}\)は，
\[
\begin{eqnarray}
f_{\mathrm {AB}} &=&\frac {1}{\displaystyle 2\pi \sqrt {3L\cdot \frac {C}{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\displaystyle 2\pi \sqrt {\frac {3}{2}LC }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので，\(f_{\mathrm {B}}＜f_{\mathrm {AB}}＜f_{\mathrm {A}}\)となる。