《理論》〈電気回路〉[H27:問3]RL並列回路の過渡現象に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，回路の過渡現象に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図1のように，片側矩形波電流を供給する電流源$ \ i_{\mathrm {s}} (t) \ $と並列内部抵抗$ \ R \ $で表される電源に，インダクタンス$ \ L \ $のコイルとスイッチ$ \ \mathrm {S} \ $を接続し，$ \ t=0 \ $でスイッチ$ \ \mathrm {S} \ $を閉じた。スイッチを閉じる前のコイルの磁束は零とする。電流源$ \ i_{\mathrm {s}} (t) \ $の波形は図2のように$ \ t ＞ T \ $で周期的であり，$ \ 0 ＜ I ＜ I_{0} \ $である。

$ \ 0 ＜ t ＜ T \ $でコイルの電流$ \ i(t) \ $が満たす微分方程式は，
\[
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i(t)=\fbox {　（１）　}
\] である。よって次式が得られる。
\[
i(T)=I_{0}\times \fbox {　（２）　}　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　①
\] 次に$T ＜ t ＜ 2T$では，$i_{\mathrm {s}} (t)=0$であることから，
\[
i(2T)=i(T)\times \fbox {　（３）　} \ 　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　②
\] 同様に，電流源$i_{\mathrm {s}} (t)$の波形に注意すれば，
\[
i(3T)=i(2T)\times \fbox {　（３）　}+I\times \fbox {　（２）　}　・・・・・・・・・・・　③
\] \[
i(4T)=i(3T)\times \fbox {　（３）　} 　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　④
\] が得られる。

$ \ i(T)+i(2T)=I \ $が成立するとき，$ \ ② \ $式と$ \ ③ \ $式の左辺の和を，各式の右辺の和で表すと
\[
i(2T)+i(3T)=\left[ i(T) +i(2T)\right] \times \fbox {　（３）　}+I\times \fbox {　（２）　}=\fbox {　（４）　}
\] となる。この結果を利用すると，$ \ ③ \ $式と$ \ ④ \ $式の左辺の和に対しても，
\[
i(3T)+i(4T)=\fbox {　（４）　}
\] が成立する。このときコイルの電流$ \ i(t) \ $は，$ \ i_{\mathrm {s}} (t) \ $と同じように$ \ t ＞ T \ $で周期$ \ 2T \ $の電流となる。$ \ i(T)+i(2T)=I \ $が成立するのは，$ \ ① \ $式と$ \ ② \ $式より，$ \ I \ $と$ \ I_{0} \ $の関係が$ \ \fbox {　（５）　} \ $のときである。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　R\left[ i(t)-I_{0}\right]　　　&（ロ）&　\left( \mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}-1\right)　　　&（ハ）&　\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {L}{R}T}\right) \\[ 5pt ] &（ニ）&　I=I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}\right)　　　&（ホ）&　I=I_{0}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}　　　&（ヘ）&　R\left[ I_{0}-i(t)\right] \\[ 5pt ] &（ト）&　I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}　　　&（チ）&　I=I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L}T}\right)　　　　&（リ）&　\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L}T} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　R\left[ I_{0}+i(t)\right]　　　&（ル）&　\mathrm {e}^{-\frac {L}{R}T}　　　&（ヲ）&　\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T} \\[ 5pt ] &（ワ）&　I\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L}T}　　　&（カ）&　I　　　&（ヨ）&　\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}T}\right)
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

過渡現象は二種から出題される分野ですが，その出題頻度は高く，確実にマスターしておかなければならない分野です。微分方程式の解き方はパターン化されているので，確実に理解するようにしましょう。

1.インダクタンスの電圧降下
　直流回路におけるインダクタンス$ \ L \ $の電圧降下$ \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ $は，下記の通りとなります。
\[
v_{\mathrm {L}}\left( t\right)=L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}
\] 2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を$ \ i_{\mathrm {s}} \ $，過渡解を$ \ i_{\mathrm {t}} \ $とすると，電流値$ \ i \ $は$ \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ $となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ $とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解すなわち$ \ L \ $開放($ \ E=0 \ $と同義)の時の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x} \ln {x} =\frac {1}{x}　
\] ②自然対数の積分
\[
\int \frac {1}{x}\mathrm {d}x =\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right)
\] \[
\ln {x}=-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時，　x=A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right)となります。
\]

【解答】

(1)解答：ヘ
図2より$ \ 0 ＜ t ＜ T \ $において，電流源から供給される電流は$ \ I_{0} \ $であるから，抵抗$ \ R \ $に流れる電流は，$ \ I_{0}-i(t) \ $となる。
抵抗$ \ R \ $とインダクタンス$ \ L \ $の電圧降下は等しいので，
\[
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i(t)=R\left[ I_{0}-i(t)\right] \] となる。

(2)解答：ヨ
(1)の微分方程式を整理すると，
\[
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i(t)+Ri(t)=RI_{0}
\] となる。定常解$ \ i_{\mathrm {s}} \ $を求めるため，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
Ri_{\mathrm {s}}(t) &=& RI_{0} \\[ 5pt ] i_{\mathrm {s}}(t)&=& I_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。次に過渡解$ \ i_{\mathrm {t}} \ $を求めるため，$ \ RI_{0}=0 \ $を代入し，過渡解を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i_{\mathrm {t}}(t)+Ri_{\mathrm {t}}(t) &=& 0 \\[ 5pt ] \frac {1}{i_{\mathrm {t}}(t)}\mathrm {d}i_{\mathrm {t}}(t)&=& -\frac {R}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \ln i_{\mathrm {t}}(t)&=& -\frac {R}{L} t +C \\[ 5pt ] i_{\mathrm {t}}(t)&=& A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって一般解は，
\[
\begin{eqnarray}
i(t) &=& i_{\mathrm {s}}(t)+i_{\mathrm {t}}(t) \\[ 5pt ] &=& I_{0}+A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ t=0 \ $の時，$ \ i(t)=0 \ $であるので，$ \ A=-I_{0} \ $となるから，
\[
\begin{eqnarray}
i(t) &=& I_{0}-I_{0}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \\[ 5pt ] &=& I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。よって，$ \ t=T \ $の時の電流の大きさ$ \ i(T) \ $は，
\[
i(T) =I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right)
\] となる。

(3)解答：ヲ
$ \ T ＜ t ＜ 2T \ $における微分方程式は，
\[
L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}=-Ri
\] であるから，(2)と同様に一般解を求めると，
\[
i(t) =A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t}
\] となり，(2)より，$ \ \displaystyle i(T)=I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) &=& A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \\[ 5pt ] A&=& I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，$ \ T ＜ t ＜ 2T \ $での電流は，
\[
i(t) =I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} t}
\] となる。よって，
\[
\begin{eqnarray}
\frac{i(2T)}{i(T)} &=& \frac{I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} 2T}}{I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1\right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：カ
題意より，
\[
\begin{eqnarray}
&&\left[ i(T) +i(2T)\right] \times \fbox {　（３）　}+I\times \fbox {　（２）　} \\[ 5pt ] &=& \left[ i(T) +i(2T)\right] \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) \\[ 5pt ] &=& I\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T} \right) \\[ 5pt ] &=& I
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：チ
$ \ i(T)+i(2T)=I \ $が成立するとき，
\[
\begin{eqnarray}
I&=& I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I_{0}\left( \mathrm {e}^{\frac {R}{L} T}-1 \right) \mathrm {e}^{-\frac {2R}{L} T} \\[ 5pt ] &=& I_{0}-I_{0} \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}+I_{0} \mathrm {e}^{-\frac {R}{L} T}-I_{0} \mathrm {e}^{-\frac {2R}{L} T} \\[ 5pt ] &=& I_{0}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {2R}{L} T}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。