《電力》〈配電〉[H26:問7]配電線路の電圧降下率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

こう長\( \ 2 \ \mathrm {km} \ \)の三相3線式配電線路が，遅れ力率\( \ 85 \ ％ \ \)の平衡三相負荷に電力を供給している。負荷の端子電圧を\( \ 6.6 \ \mathrm {kV} \ \)に保ったまま，線路の電圧降下率が\( \ 5.0 \ ％ \ \)を超えないようにするための負荷電力の最大値\( \ \mathrm {[kW]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，\( \ 1 \ \mathrm {km} \ \)1線当たりの抵抗は\( \ 0.45 \ \mathrm {\Omega } \ \)，リアクタンスは\( \ 0.25 \ \mathrm {\Omega } \ \)とし，その他の条件は無いものとする。なお，本問では送電端電圧と受電端電圧との相差角が小さいとして得られる近似式を用いて解答すること。

(1)　\( \ 1 \ 023 \ \)　　(2)　\( \ 1 \ 799 \ \)　　(3)　\( \ 2 \ 117 \ \)　　(4)　\( \ 3 \ 117 \ \)　　(5)　\( \ 3 \ 600 \ \)

【ワンポイント解説】

配電線の電圧降下に関する問題です。電圧降下の近似式は下記のように導出することができますが，非常によく出題される公式なので，確実に暗記しておくようにしましょう。

1.配電線の電圧降下の近似式
本問は送電線ですが，配電線と全く同じ考え方が適用できますので，配電線の単相\( \ 2 \ \)線式及び三相\( \ 3 \ \)線式の電圧降下を紹介します。

①単相\( \ 2 \ \)線式送電線の電圧降下
単相\( \ 2 \ \)線式線路は図1のような回路になり，負荷に対して供給される線路と戻りの線路の\( \ 2 \ \)段階で電圧降下が発生します。したがって，負荷の力率が遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)であるときのベクトル図を描くと図2のようになります。
図2のベクトル図において，\( \ {\dot V}_{\mathrm {s}} \ \)と\( \ {\dot V}_{\mathrm {r}} \ \)の位相差が十分に小さいと仮定すると，線路の電圧降下\( \ \varepsilon =V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}&≃&V_{\mathrm {r}}+2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ] V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ] \varepsilon &=&2I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

②三相\( \ 3 \ \)線式送電線の電圧降下
三相回路においては，一相分の等価回路及びベクトル図は図3及び図4のように描くことができ，三相分の電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}&≃&\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}+RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ] \frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}-\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}&=&RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ] V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&\sqrt {3}\left( RI\cos \theta +XI\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

2.線路の有効電力\( \ P \ \)
①単相\( \ 2 \ \)線式
単相\( \ 2 \ \)線式の配電線の線間電圧が\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)，線電流が\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)，電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき，送電電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②三相\( \ 3 \ \)線式
三相\( \ 3 \ \)線式の配電線の線間電圧が\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)，線電流が\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)，電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき，送電電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(2)
送電線の\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とリアクタンス\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，こう長が\( \ 2 \ \mathrm {km} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&0.45\times 2 \\[ 5pt ] &=&0.9 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] X&=&0.25\times 2 \\[ 5pt ] &=&0.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，力率\( \ \cos \theta =0.85 \ \)であるので，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.85 ^{2} } \\[ 5pt ] &≒&0.5268 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。一方，題意より電圧降下率が\( \ 5.0 \ ％ \ \)を超えないようにするための電圧降下の最大値\( \ v_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {m}} &=& 6.6\times 10^{3}\times 0.05 \\[ 5pt ] &=&330 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，線路に流すことができる電流の最大値\( \ I_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「1.配電線の電圧降下の近似式」より，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {m}}&=&\sqrt {3}I_{\mathrm {m}} \left( R\cos\theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] I_{\mathrm {m}}&=&\frac {v_{\mathrm {m}}}{\sqrt {3} \left( R\cos\theta +X\sin \theta \right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {330}{\sqrt {3} \times \left( 0.9\times 0.85 +0.5\times 0.5268 \right) } \\[ 5pt ] &≒&185.3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，電圧降下率が\( \ 5.0 \ ％ \ \)を超えないようにするための負荷電力の最大値\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「2.線路の有効電力\( \ P \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 6.6\times 10^{3}\times 185.3 \times 0.85 \\[ 5pt ] &≒&1 \ 800 \ 000 \ \mathrm {[W]}　→　1 \ 800 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。