《電力》〈送電〉[H27:問10]ケーブルの誘電体損に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

電圧\(\mathrm {66kV}\),周波数\(\mathrm {50Hz}\),こう長\(\mathrm {5km}\)の交流三相3線式地中電線路がある。ケーブルの心線1線当たりの静電容量が\(\mathrm {0.43\mu F /km}\),誘電正接が\(0.03%\)であるとき,このケーブル心線3線合計の誘電体損の値\(\mathrm {[W]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 141  (2) 294  (3) 883  (4) 1324  (5) 2648

【ワンポイント解説】

誘電体損の公式を暗記していれば,与えられた数字だけで解くことができますが,できれば,その公式に至るプロセスも本問で理解しておきたいところです。

1.ケーブルの誘電体損\(W_{\mathrm {d}}\)
角周波数を\(\omega \),周波数を\(f\),静電容量を\(C\),誘電正接を\(\tan \delta \)とした時,誘電体損\(W_{\mathrm {d}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {d}} &=&\omega CV^{2}\tan \delta \\[ 5pt ] &=&2\pi f CV^{2}\tan \delta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(3)
題意に沿って,一相分の等価回路とベクトル図を描くと図1の通りとなる。
図1より,コンデンサに流れる電流の大きさ\(I_{\mathrm {C}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {C}} &=&\omega C\frac {V}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\omega CV}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また,ベクトル図より,抵抗を流れる電流の大きさ\(I_{\mathrm {R}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}} &=&I_{\mathrm {C}}\tan \delta \\[ 5pt ] &=&\frac {\omega CV}{\sqrt {3}}\tan \delta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,3線合計の誘電体損\(W_{\mathrm {d}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {d}} &=&3\times \frac {V}{\sqrt {3}} I_{\mathrm {R}} \\[ 5pt ] &=&3\times \frac {V}{\sqrt {3}} \frac {\omega CV}{\sqrt {3}}\tan \delta \\[ 5pt ] &=&\omega CV^{2}\tan \delta \\[ 5pt ] &=&2\pi f CV^{2}\tan \delta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。ここで,
\[
\begin{eqnarray}
C &=&0.43\times 10^{-6}\times 5 \\[ 5pt ] &=&2.15\times 10^{-6} \ \mathrm {[F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {d}} &=&2\pi f CV^{2}\tan \delta \\[ 5pt ] &=&2\pi \times 50\times 2.15\times 10^{-6} \times (66\times 10^{3} ) ^{2} \times 0.0003 \\[ 5pt ] &≒&883 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。