《機械》〈直流機〉[H19:問2]直流分巻電動機の無負荷時の回転速度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

直流分巻電動機があり，電機子回路の全抵抗（ブラシの接触抵抗も含む。）は\( \ 0.098 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)である。この電動機を端子電圧\( \ 220 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源に接続して，ある負荷で運転すると，回転速度は\( \ 1 \ 480 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，電機子電流は\( \ 120 \ \mathrm {[A]} \ \)であった。同一端子電圧でこの電動機を無負荷運転したときの回転速度\( \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

ただし，無負荷運転では，電機子電流は非常に小さく，電機子回路の全抵抗による電圧降下は無視できるものとする。

　(1)　\( \ 1 \ 518 \ \)　　(2)　\( \ 1 \ 532 \ \)　　(3)　\( \ 1 \ 546 \ \)　　(4)　\( \ 1 \ 559 \ \)　　(5)　\( \ 1 \ 564 \ \)

【ワンポイント解説】

直流分巻電動機の回転速度に関する計算問題です。
等価回路を描き，誘導起電力と回転速度が比例するという特性を利用して回転速度を求める非常にポピュラーな問題です。
合格のためには確実に解いておきたい問題となります。

1.直流分巻発電機及び電動機の等価回路と特性
分巻発電機の等価回路を図1-1，分巻電動機の等価回路を図1-2に示します。ただし，図において，\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は誘導起電力（電動機の場合は逆起電力），\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は端子電圧，\( \ I_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[A]} \ \)は電機子電流，\( \ I_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[A]} \ \)は界磁電流，\( \ R_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は電機子抵抗，\( \ R_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は界磁抵抗です。
界磁を同じ電源から得る自励式ですが，界磁回路が電機子回路に並列に接続されているのが特徴です。
等価回路より，分巻発電機においては，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&V+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 分巻電動機においては，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&E+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることがわかります。

磁束を\( \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ \)，回転速度を\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)とすると，\( \ \phi ∝ I_{\mathrm {f}} \ \)となるので，誘導起電力（逆起電力）\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&k_{\mathrm {e}}\phi N \\[ 5pt ] &=&k_{\mathrm {e}}^{\prime } I_{\mathrm {f}} N \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。またトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T &=&k_{\mathrm {f}}\phi I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(5)
ワンポイント解説「1.直流分巻発電機及び電動機の等価回路と特性」の通り，題意に沿って負荷を接続したときの等価回路を描くと図2のようになり，このときの誘導起電力\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&V_{n}-R_{a}I_{a} \\[ 5pt ] &=&220-0.098\times 120 \\[ 5pt ] &=&208.24 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

また，無負荷のとき電機子電流\( \ I_{a}=0 \ \mathrm {[A]} \ \)であるから，等価回路を描くと図3のようになり，このときの誘導起電力\( \ E_{0} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{0} &=&V_{n}-R_{a}I_{a} \\[ 5pt ] &=&220-0.098\times 0 \\[ 5pt ] &=&220 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「1.直流分巻発電機及び電動機の等価回路と特性」の通り，誘導起電力と回転速度は比例するから，無負荷のときの回転速度\( \ N_{0} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{0} &=&\frac {E_{0}}{E}N \\[ 5pt ] &=&\frac {220}{208.24}\times 1 \ 480 \\[ 5pt ] &≒&1 \ 564 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。