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【問題】
【難易度】★★★★★（難しい）
次の文章は，図に示す抵抗\( \ \mathrm {R} \ \)，並びにキャパシタ\( \ \mathrm {C} \ \)で構成された一次遅れ要素に関する記述である。
図の回路において，入力電圧に対する出力電圧を，一次遅れ要素の周波数伝達関数として表したとき，折れ点角周波数\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \)は\( \ \fbox { （ア） } \ \mathrm {rad / s} \ \)である。ゲイン特性は，\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \)よりも十分低い角周波数ではほぼ一定の\( \ \fbox { （イ） } \ \mathrm {dB} \ \)であり，\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \)よりも十分高い角周波数では，角周波数が\( \ 10 \ \)倍になるごとに\( \ \fbox { （ウ） } \ \mathrm {dB} \ \)減少する直線となる。また，位相特性は， \( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \)よりも十分高い角周波数でほぼ一定の\( \ \fbox { （エ） } \ ° \ \)の遅れとなる。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\
\hline
(1) & 100 & 20 & 10 & 45 \\
\hline
(2) & 100 & 0 & 20 & 90 \\
\hline
(3) & 100 & 0 & 20 & 45 \\
\hline
(4) & 0.01 & 0 & 10 & 90 \\
\hline
(5) & 0.01 & 20 & 20 & 45 \\
\hline
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
自動制御におけるゲインと位相の特性を求める問題です。
周波数伝達関数を求め，ゲインと位相の特性を求める計算量も多い問題で，令和３年度の試験の中でもかなり難易度が高い問題であったと思います。
少し時間がかかる問題なので，試験の際には一旦飛ばすことも検討しても良いかもしれません。
1.周波数伝達関数のゲイン
周波数伝達関数が\( \ \displaystyle W(\mathrm {j}\omega ) =\frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T} \ \)で与えられる時，この周波数伝達関数の絶対値\( \ \left| W(\mathrm {j}\omega ) \right| \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\left| W(\mathrm {j}\omega ) \right| &=&\left| \frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T}\right| \\[ 5pt ]
&=&\frac {K}{\sqrt {1+\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，この周波数伝達関数のゲイン\( \ g \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} K-20\log _{10} \sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} K-10\log _{10} \left( 1+\omega ^{2}T^{2}\right) \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.ボード線図
周波数伝達関数が\( \ \displaystyle W(\mathrm {j}\omega ) =\frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T} \ \)で与えられる時，ゲイン\( \ g \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+\left( \omega T\right) ^{2}}} \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となりますが，\( \ \displaystyle \omega \ll \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \ll 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+0}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10}K \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
とほぼ一定の値となり，\( \ \displaystyle \omega \gg \frac {1}{T} \ \)すなわち\( \ \omega T \gg 1 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {\left( \omega T\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {K}{\omega T} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} K-20\log _{10}\omega T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，横軸に対数座標をとると，ほぼ直線的に減少していくことになります。したがって，ボード線図は図1のようになります。
図1において\( \ \displaystyle \omega =\frac {1}{T} \ \)となる角周波数を折れ点角周波数と呼びます。
【解答】
解答：(2)
(ア)
入力電圧を\( \ v_{\mathrm {i}} \ \)，出力電圧を\( \ v_{\mathrm {o}} \ \)とすると，分圧の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {o}}&=&\frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}{\displaystyle R+\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}v_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega CR}v_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，周波数伝達関数\( \ \displaystyle W\left( \mathrm {j}\omega \right) =\frac {v_{\mathrm {o}}}{v_{\mathrm {i}}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+\mathrm {j}\omega 0.001\times 10} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+\mathrm {j}0.01\omega } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ワンポイント解説「2.ボード線図」の通り，折れ点角周波数\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {c}} &=&\frac {1}{CR} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{ 0.001\times 10} \\[ 5pt ]
&=&100 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(イ)
ゲイン\( \ g \ \mathrm {[dB]} \ \)は，ワンポイント解説「1.周波数伝達関数のゲイン」より，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \left| \frac {1}{1+\mathrm {j}0.01\omega }\right| \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {1}{\sqrt {1+\left( 0.01\omega \right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ \omega \ \)が十分に小さいとき，
\[
\begin{eqnarray}
g&≃&20\log _{10} \frac {1}{\sqrt {1+0}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} 1 \\[ 5pt ]
&=&0 \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(ウ)
\( \ \omega \ \)が十分に大きいときゲイン\( \ g \ \mathrm {[dB]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \frac {1}{\sqrt {1+\left( 0.01\omega \right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&≃&20\log _{10} \frac {1}{\sqrt {\left( 0.01\omega \right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&20\log _{10} \frac {1}{0.01\omega } \\[ 5pt ]
&=&-20\log _{10} \left( 0.01\omega \right) \\[ 5pt ]
&=&-20\log _{10} 0.01-20\log _{10} \omega \\[ 5pt ]
&=&40-20\log _{10} \omega \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，角周波数が\( \ 10 \ \)倍になるごとに\( \ 20 \ \mathrm {[dB]} \ \)ずつ減少していくことがわかる。
(エ)
周波数伝達関数\( \ \displaystyle W\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
W\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\frac {1}{1+\mathrm {j}0.01\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+\mathrm {j}0.01\omega }\times \frac {1-\mathrm {j}0.01\omega }{1-\mathrm {j}0.01\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1+0.01^{2}\omega ^{2} }\left( 1-\mathrm {j}0.01\omega \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，位相\( \ \theta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\tan \theta &=&\frac {-0.01\omega }{1} \\[ 5pt ]
&=&-0.01\omega \\[ 5pt ]
\theta &=&\tan ^{-1}\left( -0.01\omega \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ \omega \ \)が十分に大きいとき\( \ \tan \theta \ \)は\( \ -\infty \ \)へ近づいていくので，\( \ \theta \ \)は\( \ -90 \ ° \ \)すなわち\( \ 90 \ ° \ \)の遅れとなる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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