《機械》〈照明〉[R4下:問17]点光源の光度と床面の水平面照度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

どの方向にも光度が等しい均等放射の点光源がある。この点光源の全光束は\( \ 3 \ 000 \ \mathrm {lm} \ \)である。この点光源を図のように配置した。水平面から点光源までの高さは\( \ 2 \ \mathrm {m} \ \)であり，点光源の直下の点\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ \mathrm {B} \ \)との距離は\( \ 1.5 \ \mathrm {m} \ \)である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　この点光源の平均光度\( \ \mathrm {[cd]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 191 \ \)　　(2)　\( \ 239 \ \)　　(3)　\( \ 318 \ \)　　(4)　\( \ 477 \ \)　　(5)　\( \ 955 \ \)

(b)　水平面\( \ \mathrm {B} \ \)点における水平面照度の値\( \ \mathrm {[lx]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 10 \ \)　　(2)　\( \ 24 \ \)　　(3)　\( \ 31 \ \)　　(4)　\( \ 61 \ \)　　(5)　\( \ 122 \ \)

【ワンポイント解説】

点光源の平均光度と水平面照度を求める問題です。
非常に出題されやすいパターンの問題で，数年に1回程度の割合で出題されていますので，必ずマスターするようにしましょう。

1.立体角の定義
図1のように球体があり，半径\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)の錐体が球面を切り取った時の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とすると，立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，平面角\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は\( \ \theta = \pi \ \)の時であり，\( \ \omega =4\pi \ \)となります。

2.光度\( \ I \ \)
ある方向に向かう光束\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)を立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)で割ったものが光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)となります。
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {\Delta F}{\Delta \omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

3.水平面照度\( \ E_{\mathrm {h}} \ \)
図2のように，点光源から光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)で\( \ \mathrm {C} \ \)点に向かって光が照射されているとき，法線照度\( \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {n}} &=&\frac {I}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，水平面照度\( \ E_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[lx]} \ \)は，\( \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ \)の余弦\( \ \cos \theta \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&E_{\mathrm {n}}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{r^{2}}\cdot \frac {h}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {hI}{r^{3}}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(2)
全光束\( \ F=3 \ 000 \ \mathrm {[lm]} \ \)であるため，平均光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)は，ワンポイント解説「2.光度\( \ I \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{4\pi } \\[ 5pt ] &=&\frac {3 \ 000}{4\pi } \\[ 5pt ] &≒&238.7　→　239 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
点光源から\( \ \mathrm {B} \ \)点までの距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
r &=&\sqrt {2^{2}+1.5^{2}} \\[ 5pt ] &=&2.5 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，\( \ \mathrm {B} \ \)点における法線照度\( \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ \)は，ワンポイント解説「3.水平面照度\( \ E_{\mathrm {h}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {n}} &=&\frac {I}{r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {238.7}{2.5^{2}} \\[ 5pt ] &≒&38.19 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，\( \ \mathrm {B} \ \)点における水平面照度\( \ E_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[lx]} \ \)は，ワンポイント解説「3.水平面照度\( \ E_{\mathrm {h}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&E_{\mathrm {n}}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&38.19\times \frac {2}{2.5} \\[ 5pt ] &≒&30.55　→　31 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。