《機械》〈電熱〉[R05上:問17]熱力学におけるオームの法則に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

熱伝導について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

断面積が\( \ 2 \ \mathrm {m^{2}} \ \)，厚さが\( \ 30 \ \mathrm {cm} \ \)，熱伝導率が\( \ 1.6 \ \mathrm {W / \left( m\cdot K\right) } \ \)の両表面間に温度差がある壁がある。ただし，熱流は厚さ方向のみの一次元とする。

(a)　この壁の厚さ方向の熱抵抗\( \ R \ \)の値\( \ \mathrm {[K / W]} \ \)に最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 0.041 \ 7 \ \)　　(2)　\( \ 0.093 \ 8 \ \)　　(3)　\( \ 0.267 \ \)　　(4)　\( \ 2.67 \ \)　　(5)　\( \ 4.17 \ \)

(b)　この壁の低温側の温度\( \ t_{2} \ \)が\( \ 20 \ ℃ \ \)のとき，この壁の熱流\( \ \mathit {\Phi} \ \)が\( \ 100 \ \mathrm {W} \ \)であった。このとき，この壁の高温側の温度\( \ t_{1} \ \)の値\( \ \mathrm {[℃]} \ \)に最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 21.0 \ \)　　(2)　\( \ 22.1 \ \)　　(3)　\( \ 24.2 \ \)　　(4)　\( \ 29.4 \ \)　　(5)　\( \ 46.7 \ \)

【ワンポイント解説】

物体を伝わる熱に関する問題です。
(a)，(b)とも基本的な公式に代入して求める問題なので，電験の問題としてはかなり取り組みやすい問題であったかと思います。こういう問題を確実に得点できるようになることが，合格への最短距離となります。

1.熱力学におけるオームの法則
図1に示すように，ある温度差がある物体においては高温部から低温部に向かい熱が伝わり，それを熱流といいます。
物体の温度差を\( \ \theta =T_{1}-T_{2} \ \mathrm {[K]} \ \)，熱抵抗を\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)とすると，物体の熱流\( \ I \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {\theta }{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.物体の熱抵抗\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)
物体の熱伝導率が\( \ \lambda \ \mathrm {[W / (m\cdot K )]} \ \)，断面積が\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，長さが\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)であるとき，物体の熱抵抗\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {l}{\lambda S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(2)
断面積\( \ S=2 \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，厚さ\( \ l=0.30 \ \mathrm {[m]} \ \)，熱伝導率\( \ \lambda =1.6 \ \mathrm {[W / \left( m\cdot K\right) ]} \ \)であるから，熱抵抗\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)は，ワンポイント解説「2.物体の熱抵抗\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {l}{\lambda S} \\[ 5pt ] &=& \frac {0.30}{1.6 \times 2} \\[ 5pt ] &=& 0.093 \ 75　→　0.093 \ 8 \ \mathrm {[K / W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
熱力学のオームの法則に各値を代入すると，高温側の温度\( \ t_{1} \ \mathrm {[℃]} \ \)は，ワンポイント解説「1.熱力学におけるオームの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
t_{1}-t_{2} &=& R\mathit {\Phi} \\[ 5pt ] t_{1} &=&t_{2}+ R\mathit {\Phi} \\[ 5pt ] &=&20+ 0.093 \ 75\times 100 \\[ 5pt ] &≒&29.4 \ \mathrm {[℃]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。