【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
定格容量\( \ 100 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の単相変圧器\( \ 3 \ \)台を\( \ \Delta – \Delta \ \)結線した\( \ 1 \ \)組の三相変圧器として使用可能な容量を\( \ P_{\Delta } \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)とする。これに対して，同一仕様の単相変圧器\( \ 1 \ \)台を追加し，\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線の三相変圧器を\( \ 2 \ \)組並列運転で使用する場合の合計容量を\( \ P \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)とする。このとき，\( \ P_{\Delta } \ \)に対する\( \ P \ \)の比である\( \ \displaystyle \frac {P}{P_{\Delta }} \ \)の値について，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 0.577 \ \) (2) \( \ 0.943 \ \) (3) \( \ 1.15 \ \) (4) \( \ 1.33 \ \) (5) \( \ 1.73 \ \)
【ワンポイント解説】
\( \ \Delta – \Delta \ \)結線と\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線の三相変圧器の容量比較に関する問題です。
近年出題されてこなかったような内容ですが，\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線の利用率や出力の意味を理解していれば，問題なく解くことが可能ですのでここで理解しておくようにして下さい。
本問は平成15年問8の類題となります。
1.\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線と\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線の比較
①\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線
\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線の変圧器の回路図とベクトル図を図1及び図2に示します。
図1において，負荷電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {u}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，変圧器を流れる電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {uv}} \ \mathrm {[A]} \ \)及び\( \ {\dot I}_{\mathrm {wu}} \ \mathrm {[A]} \ \)を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {u}}&=& {\dot I}_{\mathrm {uv}}-{\dot I}_{\mathrm {wu}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，ベクトル図上では図2のような関係となり，三相平衡である場合にはそれぞれの大きさの比は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {u}}&=& \sqrt {3}I_{\mathrm {uv}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であることが分かります。したがって，各変圧器が分担する容量\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)は，負荷の線間電圧を\( \ V_{\mathrm {uv}}=V_{\mathrm {vw}}=V_{\mathrm {wu}}=V \ \)，負荷電流を\( \ I_{\mathrm {u}}=I_{\mathrm {v}}=I_{\mathrm {w}}=I \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S&=& \frac {VI}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。したがって，変圧器全体の送電電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は力率を\( \ \cos \theta \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P&=& 3S\cos \theta \\[ 5pt ]
&=& 3\cdot \frac {VI}{\sqrt {3}}\cdot \cos \theta \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}VI \cos \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②\( \ \mathrm {V -V } \ \)結線
\( \ \mathrm {V -V } \ \)結線の変圧器の回路図とベクトル図を図3及び図4に示します。
図3において，負荷電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {u}} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {v}} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {w}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {u}}&=& {\dot I}_{\mathrm {uv}} \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {v}}&=& {\dot I}_{\mathrm {vw}}-{\dot I}_{\mathrm {uv}} \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {w}}&=& -{\dot I}_{\mathrm {vw}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，ベクトル図上では図4のような関係となり，三相平衡である場合にはそれぞれの大きさの比は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {u}}&=&I_{\mathrm {v}}&=&I_{\mathrm {w}}&=&I_{\mathrm {uv}}&=&I_{\mathrm {vw}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であることが分かります。したがって，各変圧器が分担する容量\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)は，負荷の線間電圧を\( \ V_{\mathrm {uv}}=V_{\mathrm {vw}}=V_{\mathrm {wu}}=V \ \)，負荷電流を\( \ I_{\mathrm {u}}=I_{\mathrm {v}}=I_{\mathrm {w}}=I \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S&=& VI \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。変圧器全体の送電電力\( \ P_{\mathrm {V}} \ \mathrm {[W]} \ \)は力率を\( \ \cos \theta \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {V}}&=& \sqrt {3}VI \cos \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ \mathrm {V -V } \ \)結線で得られる出力\( \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)は各変圧器の出力の\( \ \sqrt {3} \ \)倍となるため，利用率は，
\[
\begin{eqnarray}
利用率&=& \frac {\sqrt {3}VI}{2VI} \\[ 5pt ]
&=& \frac {\sqrt {3}}{2} → 86.6 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，\( \ \mathrm {V -V } \ \)結線と\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線で同じ電力を出力する場合に必要となる変圧器の容量比は，
\[
\begin{eqnarray}
容量比&=& \frac {\displaystyle \frac {VI}{\sqrt {3}}}{VI} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{\sqrt {3}} → 57.7 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ \mathrm {V -V } \ \)結線の出力は\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線の\( \ 57.7 \ \mathrm {[％]} \ \)程度であることがわかります。
【解答】
解答：(3)
定格容量\( \ 100 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の単相変圧器\( \ 3 \ \)台を\( \ \Delta – \Delta \ \)結線した変圧器の使用可能な容量\( \ P_{\Delta } \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\Delta }&=& 3\times 100 \\[ 5pt ]
&=&300 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，定格容量\( \ 100 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の単相変圧器\( \ 2 \ \)台を\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線した変圧器を\( \ 2 \ \)組並列運転で使用する場合の合計容量\( \ P \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，ワンポイント解説「1.\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線と\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線の比較」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P&=& 2\times 100 \times \frac {\sqrt {3}}{2} \times 2 \\[ 5pt ]
&≒&346.4 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，\( \ P_{\Delta } \ \)に対する\( \ P \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {P}{P_{\Delta }} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P}{P_{\Delta }}&=& \frac {346.4}{300} \\[ 5pt ]
&≒&1.15 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
［別解］
定格容量\( \ 100 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の単相変圧器\( \ 3 \ \)台を\( \ \Delta – \Delta \ \)結線した変圧器の使用可能な容量\( \ P_{\Delta } \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\Delta }&=& 3\times 100 \\[ 5pt ]
&=&300 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，定格容量\( \ 100 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の単相変圧器\( \ 2 \ \)台を\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線した合計容量\( \ P_{\mathrm {V}} \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，ワンポイント解説「1.\( \ \mathrm {\Delta -\Delta } \ \)結線と\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線の比較」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {V}}&=& \frac {\sqrt {3}}{3} P_{\Delta } \\[ 5pt ]
&=& \frac {\sqrt {3}}{3} \times 300 \\[ 5pt ]
&≒&173.2 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ \mathrm {V-V} \ \)結線\( \ 2 \ \)組並列運転で使用する場合の合計容量\( \ P \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P&=& 2P_{\mathrm {V}} \\[ 5pt ]
&=& 2\times 173.2 \\[ 5pt ]
&≒&346.4 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ P_{\Delta } \ \)に対する\( \ P \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {P}{P_{\Delta }} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P}{P_{\Delta }}&=& \frac {346.4}{300} \\[ 5pt ]
&≒&1.15 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
