《理論》〈電磁気〉[H22:問1]正負の点電荷を置いたとき，電位が零となる点の特定に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

真空中において，図のように点\( \ \mathrm {A} \ \)に正電荷\( \ +4Q \ \mathrm {[C]} \ \)，点\( \ \mathrm {B} \ \)に負電荷\( \ -Q \ \mathrm {[C]} \ \)の点電荷が配置されている。この\( \ 2 \ \)点を通る直線上で電位が\( \ 0 \ \mathrm {[V]} \ \)になる点を点\( \ \mathrm {P} \ \)とする。点\( \ \mathrm {P} \ \)の位置を示すものとして，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。なお，無限遠の点は除く。

ただし，点\( \ \mathrm {A} \ \)と点\( \ \mathrm {B} \ \)間の距離を\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)とする。また，点\( \ \mathrm {A} \ \)より左側の領域を\( \ \mathrm {a} \ \)領域，点\( \ \mathrm {A} \ \)と点\( \ \mathrm {B} \ \)の間の領域を\( \ \mathrm {ab} \ \)領域，点\( \ \mathrm {B} \ \)より右側の領域を\( \ \mathrm {b} \ \)領域とし，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)とする。

\[
\begin{array}{cccc}
& \mathrm {a} \ 領域 & \mathrm {ab} \ 領域 & \mathrm {b} \ 領域 \\
\hline
(1) & {\displaystyle 点 \ \mathrm {A} \ より左 \ \frac {l}{3} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} & {\displaystyle この領域には存在 }\atop{\displaystyle しない　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {B} \ より右 \ l \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　} \\
\hline
(2) & {\displaystyle この領域には存在 }\atop{\displaystyle しない　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {A} \ より右 \ \frac {4l}{5} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {B} \ より右 \ \frac {l}{3} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} \\
\hline
(3) & {\displaystyle この領域には存在 }\atop{\displaystyle しない　　　　　} & {\displaystyle この領域には存在 }\atop{\displaystyle しない　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {B} \ より右 \ l \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　} \\
\hline
(4) & {\displaystyle 点 \ \mathrm {A} \ より左 \ \frac {l}{3} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {A} \ より右 \ \frac {4l}{5} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {B} \ より右 \ \frac {l}{3} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} \\
\hline
(5) & {\displaystyle この領域には存在 }\atop{\displaystyle しない　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {A} \ より右 \ \frac {4l}{5} \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　　} & {\displaystyle 点 \ \mathrm {B} \ より右 \ l \ \mathrm {[m]} \ }\atop{\displaystyle の点　　　　　　} \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

点電荷を置いたときの電位が零となる点を求める問題です。
「電位が零となる点を求めよ。」であればそれほど難易度が高くありませんが，領域を三つに分けることで計算量が多くなり，さらに零となる点が存在しないパターンもあり得ることが受験生を惑わす問題となっています。

1.点電荷を置いたときの周囲の電位
真空中に電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)を置いた時，距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離れた位置の電位\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。クーロンの法則\( \ \displaystyle F=\frac {Q_{1}Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \ \)や電界の式\( \ \displaystyle E=\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \ \)と似ているので合わせて覚えておきましょう。

【解答】

解答：(2)
①\( \ \mathrm {a} \ \)領域
\( \ \mathrm {a} \ \)領域における点\( \ \mathrm {A} \ \)から距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離れた位置の電位\( \ V_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「1.点電荷を置いたときの周囲の電位」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {a}} &=&\frac {4Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}-\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\left( r+l\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {4}{r}-\frac {1}{r+l}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これより，\( \ V_{\mathrm {a}}=0 \ \mathrm {[V]} \ \)となる点は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {a}} =\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {4}{r}-\frac {1}{r+l}\right) &=&0 \\[ 5pt ] \frac {4}{r}-\frac {1}{r+l} &=&0 \\[ 5pt ] \frac {4}{r} &=&\frac {1}{r+l} \\[ 5pt ] 4r+4l &=&r \\[ 5pt ] 3r &=&-4l \\[ 5pt ] r &=&-\frac {4l}{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ r＞0 \ \)ではないため，\( \ \mathrm {a} \ \)領域には電位が\( \ 0 \ \mathrm {[V]} \ \)となる点は存在しない。

②\( \ \mathrm {ab} \ \)領域
\( \ \mathrm {ab} \ \)領域における点\( \ \mathrm {A} \ \)から距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離れた位置の電位\( \ V_{\mathrm {ab}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「1.点電荷を置いたときの周囲の電位」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\frac {4Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}-\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\left( l-r\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {4}{r}-\frac {1}{l-r}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これより，\( \ V_{\mathrm {ab}}=0 \ \mathrm {[V]} \ \)となる点は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} =\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {4}{r}-\frac {1}{l-r}\right) &=&0 \\[ 5pt ] \frac {4}{r}-\frac {1}{l-r} &=&0 \\[ 5pt ] \frac {4}{r} &=&\frac {1}{l-r} \\[ 5pt ] 4l-4r &=&r \\[ 5pt ] 5r &=&4l \\[ 5pt ] r &=&\frac {4l}{5} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ \mathrm {ab} \ \)領域で電位が\( \ 0 \ \mathrm {[V]} \ \)となる点は点\( \ \mathrm {A} \ \)より右\( \ \displaystyle \frac {4l}{5} \ \mathrm {[m]} \ \)の点と求められる。

③\( \ \mathrm {b} \ \)領域
\( \ \mathrm {b} \ \)領域における点\( \ \mathrm {B} \ \)から距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離れた位置の電位\( \ V_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「1.点電荷を置いたときの周囲の電位」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {b}} &=&\frac {4Q}{4\pi \varepsilon _{0}\left( r+l\right) }-\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r } \\[ 5pt ] &=&\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {4}{r+l}-\frac {1}{r}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これより，\( \ V_{\mathrm {b}}=0 \ \mathrm {[V]} \ \)となる点は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {b}} =\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {4}{r+l}-\frac {1}{r}\right) &=&0 \\[ 5pt ] \frac {4}{r+l}-\frac {1}{r} &=&0 \\[ 5pt ] \frac {4}{r+l} &=&\frac {1}{r} \\[ 5pt ] 4r &=&r+l \\[ 5pt ] 3r &=&l \\[ 5pt ] r &=&\frac {l}{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ \mathrm {b} \ \)領域で電位が\( \ 0 \ \mathrm {[V]} \ \)となる点は点\( \ \mathrm {B} \ \)より右\( \ \displaystyle \frac {l}{3} \ \mathrm {[m]} \ \)の点と求められる。

以上から，解答は(2)と求められる。