《理論》〈電磁気〉[H24:問1]コンデンサの端子電圧に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図1及び図2のように、静電容量がそれぞれ\( \ 4 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)と\( \ 2 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)のコンデンサ\( \ C_{1} \ \)及び\( \ C_{2} \ \)，スイッチ\( \ S_{1} \ \)及び\( \ S_{2} \ \)からなる回路がある。コンデンサ\( \ C_{1} \ \)と\( \ C_{2} \ \)には，それぞれ\( \ 2 \ \mathrm {[\mu C]} \ \)と\( \ 4 \ \mathrm {[\mu C]} \ \)の電荷が図のような極性で蓄えられている。この状態から両図ともスイッチ\( \ S_{1} \ \)及び\( \ S_{2} \ \)を閉じたとき、図1のコンデンサ\( \ C_{1} \ \)の端子電圧を\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，図2のコンデンサ\( \ C_{1} \ \)の端子電圧を\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)とすると，電圧比\( \ \displaystyle \left| \frac {V_{1}}{V_{2}}\right| \ \)の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ \displaystyle \frac {1}{3} \ \)　　(2)　\( \ 1 \ \)　　(3)　\( \ 3 \ \)　　(4)　\( \ 6 \ \)　　(5)　\( \ 9 \ \)

【ワンポイント解説】

平行平板コンデンサの基本公式をただ覚えているだけでなく，きちんと理解しているかを問う問題です。式変形において，定数である電圧\( \ V \ \)と比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)，真空の誘電率\( \ \varepsilon _{0} \ \)，極板の面積\( \ S \ \)，極板間の距離\( \ d \ \)で表し，\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)が含まれるかどうかで判断します。

1.コンデンサの極板間に蓄えられる電荷\( \ Q \ \)
静電容量\( \ C \ \)のコンデンサに電圧\( \ V \ \)をかけて十分時間が経った時，コンデンサに蓄えられる電荷\( \ Q \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.コンデンサの合成静電容量
静電容量\( \ C_{1} \ \)と\( \ C_{2} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \)は，
　　並列接続時：\( \ C=C_{1}+C_{2} \ \)
　　直列接続時：\( \ \displaystyle C=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \ \)
となります。

【解答】

解答：(3)
スイッチを閉じる前後で全体の電荷量は変わらない。したがって、図1において\( \ C_{1} \ \)と\( \ C_{2} \ \)に蓄えられる電荷量\( \ Q_{1} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{1} &=&2+4 \\[ 5pt ] &=&6 \ \mathrm {[\mu C]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり、図2において\( \ C_{1} \ \)と\( \ C_{2} \ \)に蓄えられる電荷量\( \ Q_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{2} &=&4-2 \\[ 5pt ] &=&2 \ \mathrm {[\mu C]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ただし、図1においては図の上側が＋，図2においては図の下側が＋の極性となる。また，\( \ C_{1} \ \)と\( \ C_{2} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&C_{1}+C_{2} \\[ 5pt ] &=&2+4 \\[ 5pt ] &=&6 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，スイッチを閉じた後のそれぞれの電圧\( \ V_{1} \ \)及び\( \ V_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1} &=&\frac {Q_{1}}{C} \\[ 5pt ] &=&\frac {6\times 10^{-6}}{6\times 10^{-6}} \\[ 5pt ] &=&1 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] V_{2} &=&\frac {Q_{2}}{C} \\[ 5pt ] &=&\frac {-2\times 10^{-6}}{6\times 10^{-6}} \\[ 5pt ] &=&-\frac {1}{3} \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，電圧比\( \ \displaystyle \left| \frac {V_{1}}{V_{2}}\right| \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\left| \frac {V_{1}}{V_{2}}\right| &=&\left| \frac {1}{\displaystyle -\frac {1}{3}}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| -3\right| \\[ 5pt ] &=&3 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。