《理論》〈電気回路〉[H25:問7]交流回路での周波数特性に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

\( \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗と静電容量が\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサを直列に接続した\( \ RC \ \)回路がある。この\( \ RC \ \)回路に，周波数\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電圧\( \ 100 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源を接続したところ，\( \ 20 \ \mathrm {[A]} \ \)の電流が流れた。では，この\( \ RC \ \)回路に，周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電圧\( \ 100 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源を接続したとき，\( \ RC \ \)回路に流れる電流\( \ \mathrm {[A]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(16.7\)　　(2)　\(18.6\)　　(3)　\(21.2\)　　(4)　\(24.0\)　　(5)　\(25.6\)

【ワンポイント解説】

電験王を訪問される方の中で交流回路がわからないという方が結構いらっしゃいます。交流回路はコンデンサやコイルがリアクタンスとして働くため，直流回路とは別物と考えて取り組むと良いと思います。

1.抵抗，コイル，コンデンサのインピーダンスとアドミタンス
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンス\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，アドミタンス\( \ \mathrm {[S]} \ \)はインピーダンスの逆数なので，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}_{\mathrm {R}}&=&\frac {1}{R}&& \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {L}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega L}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f L} \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {C}}&=&\mathrm {j}\omega C&=&\mathrm {j}2\pi f C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答：(3)
周波数\( \ 50 \ \mathrm {Hz} \ \)の交流電源に接続したときの回路図を図1に示す。
回路全体のインピーダンス\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\frac {E}{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{20} \\[ 5pt ] &=&5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，コンデンサのリアクタンス\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {C}}&=&\sqrt {Z^{2}-R^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {5^{2}-4^{2}} \\[ 5pt ] &=&3 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

次に，周波数\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)の交流電源に接続したときの回路図を図2に示す。
ワンポイント解説「1.抵抗，コイル，コンデンサのインピーダンスとアドミタンス」の通り，コンデンサのリアクタンスは周波数に反比例するので，\( \ f^{\prime }= 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)のときのコンデンサのリアクタンス\( \ {X_{\mathrm {C}}}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{X_{\mathrm {C}}}^{\prime }&=&\frac {f}{f^{\prime }}X_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {50}{60}\times 3 \\[ 5pt ] &=&2.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，回路全体のインピーダンス\( \ Z^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z^{\prime }&=&\sqrt {R^{2}+{{X_{\mathrm {C}}}^{\prime }}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {4^{2}+2.5^{2}} \\[ 5pt ] &≒&4.717 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，このときに流れる電流\( \ I^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I^{\prime }&=&\frac {E}{Z^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{4.717} \\[ 5pt ] &≒&21.2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。