《理論》〈電気回路〉[H25:問7]交流回路での周波数特性に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

\( \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗と静電容量が\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサを直列に接続した\( \ RC \ \)回路がある。この\( \ RC \ \)回路に,周波数\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電圧\( \ 100 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源を接続したところ,\( \ 20 \ \mathrm {[A]} \ \)の電流が流れた。では,この\( \ RC \ \)回路に,周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電圧\( \ 100 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源を接続したとき,\( \ RC \ \)回路に流れる電流\( \ \mathrm {[A]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(16.7\)  (2) \(18.6\)  (3) \(21.2\)  (4) \(24.0\)  (5) \(25.6\)

【ワンポイント解説】

電験王を訪問される方の中で交流回路がわからないという方が結構いらっしゃいます。交流回路はコンデンサやコイルがリアクタンスとして働くため,直流回路とは別物と考えて取り組むと良いと思います。

1.コイルやコンデンサのリアクタンス
インダクタンスが\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイル及び静電容量が\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサを周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電源に接続した時のそれぞれのリアクタンスの大きさ\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及び\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}X_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \\[ 5pt ] &=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] -\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。\( \ -\mathrm {j} \ \)と\( \ \displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\mathrm {j}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}}\times \frac {\mathrm {j}}{\mathrm {j}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\mathrm {j}}{-1} \\[ 5pt ] &=&-\mathrm {j} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,数学的に全く同じ値になります。

【解答】

解答:(3)
電源周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)とすると,静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のリアクタンスは\( \ X_{\mathrm {C}}=\frac {1}{2\pi f C} \ \)となるので,回路のインピーダンス\( \ \dot Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&R-\mathrm {j}X_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=&4+\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,その大きさ\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Z &=&\sqrt {4^{2}+X_{\mathrm {C}}^{2}}\\[ 5pt ] &=&\sqrt {4^{2}+\left( \frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より,周波数\( \ 50 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電圧\( \ 100 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源を接続したところ,\( \ 20 \ \mathrm {[A]} \ \)の電流が流れたので,オームの法則より,
\[
\begin{eqnarray}
V &=&ZI \\[ 5pt ] 100&=&\sqrt {4^{2}+X_{\mathrm {C}}^{2}}\times 20 \\[ 5pt ] 5&=&\sqrt {16+X_{\mathrm {C}}^{2}} \\[ 5pt ] 25&=&16+X_{\mathrm {C}}^{2} \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}}^{2}&=&9 \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}}&=&3 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。周波数が\( \ f^{\prime }=60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時のリアクタンスを\( \ \displaystyle X_{\mathrm {C}}^{\prime } \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {X_{\mathrm {C}}^{\prime }}{X_{\mathrm {C}}} &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{2\pi f^{\prime } C}}{\displaystyle \frac {1}{2\pi f C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi f C}{2\pi f^{\prime } C} \\[ 5pt ] &=&\frac {f}{f^{\prime }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから,それぞれの値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {X_{\mathrm {C}}^{\prime }}{X_{\mathrm {C}}} &=&\frac {f}{f^{\prime }} \\[ 5pt ] \frac {X_{\mathrm {C}}^{\prime }}{3} &=&\frac {50}{60} \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}}^{\prime } &=&2.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の電源を接続したとき,\( \ RC \ \)回路に流れる電流\( \ I^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I^{\prime } &=&\frac {V}{\sqrt {R^{2}+{X_{\mathrm {C}}^{\prime }}^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{\sqrt {4^{2}+2.5^{2}}} \\[ 5pt ] &≒&21.2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。