《理論》〈電気回路〉[R4上:問8]インダクタンス接続前後の交流電力の変化に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

図のように,周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の正弦波交流電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の電源に,\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗,インダクタンス\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイルとスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を接続した回路がある。スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)が開いているときに回路が消費する電力\( \ \mathrm {[W]} \ \)は,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)が閉じているときに回路が消費する電力\( \ \mathrm {[W]} \ \)の\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)になった。このとき,\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)の値を表す式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 2\pi fR \ \)  (2) \( \ \displaystyle \frac {R}{2\pi f} \ \)  (3) \( \ \displaystyle \frac {2\pi f}{R} \ \)  (4) \( \ \displaystyle \frac {\left( 2\pi f\right) ^{2}}{R} \ \)  (5) \( \ \displaystyle \frac {R}{\pi f} \ \)  

【ワンポイント解説】

交流回路の各インピーダンスの特性を理解しているかを問う問題です。
最初はイメージを掴むため,リアクトル導通前後のベクトル図を描いても良いかと思います。
また,「消費する電力\( \ \mathrm {[W]} \ \)」というのは,抵抗で消費する有効電力のことを指していることを問題文から読み解けるようにしましょう。

1.抵抗,コイル,コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \),コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり,電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき,それぞれのインピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ,それぞれの電圧と電流の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと,図1~図3となります。

2.抵抗での消費電力
抵抗値\( \ R \ \)の抵抗に電流\( \ I \ \)が流れているときの消費電力\( \ P \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(2)
ワンポイント解説「1.抵抗,コイル,コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係」より,スイッチ開放前後の回路の電流を\( \ {\dot I}_{1} \ \)及び\( \ {\dot I}_{2} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{1} &=&\frac {\dot E}{R} \\[ 5pt ] {\dot I}_{2} &=&\frac {\dot E}{R+\mathrm {j}2\pi fL} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,その大きさ\( \ I_{1} \ \)及び\( \ I_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] I_{2} &=&\frac {E}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.抵抗での消費電力」の通り,消費電力\( \ P \ \)は電流\( \ I \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例するので,インダクタンスを接続することで消費電力が\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)になったということは電流は\( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}} \ \)になったということになる。したがって,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\sqrt {2}I_{2} \\[ 5pt ] \frac {E}{R} &=&\sqrt {2}\cdot \frac {E}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \frac {1}{R} &=&\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \frac {1}{R^{2}} &=&\frac {2}{R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}} \\[ 5pt ] R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2} &=&2R^{2} \\[ 5pt ] \left( 2\pi f L\right) ^{2} &=&R^{2} \\[ 5pt ] 2\pi f L &=&R \\[ 5pt ] L &=&\frac {R}{2\pi f} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。