《理論》〈電気及び電子計測〉[R07下:問14]水晶振動子と水晶発振回路に関する論説問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

目盛が正弦波交流に対する実効値になる整流形の電圧計（全波整流形）がある。この電圧計で図のような周期\( \ 20 \ \mathrm {ms} \ \)の繰り返し波形電圧を測定した。

このとき，電圧計の指示の値\( \ \mathrm {[V]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 5.66 \ \)　　(2)　\( \ 5.14 \ \)　　(3)　\( \ 4.62 \ \)　　(4)　\( \ 4.44 \ \)　　(5)　\( \ 4.00 \ \)

【ワンポイント解説】

整流形の電圧計の指示値に関する問題です。
電圧計の問題なので，単純に図の実効値を求めてしまうと誤答を選択してしまい間違いとなります。正弦波交流を前提とした電圧計なので，その波形率を考慮し指示値を求める必要があります。
本問は平成27年問14からの再出題となります。

1.平均値と実効値の定義
\( \ f( \theta ) \ \)を周期\( \ T \ \)の周期関数であるとしたとき，平均値と実効値は以下の通りとなります。
①平均値\( \ F_{\mathrm {av}} \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{T}\int _{0}^{T}f( \theta ) \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，これを正弦波\( \ v\left( t \right) =V_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {av}} &=&\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }V_{\mathrm {m}}\sin \omega t \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ -\cos \omega t \right] _{0}^{\pi } \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ 1+1 \right] \\[ 5pt ] &=&\frac {2}{\pi }V_{\mathrm {m}}
\end{eqnarray}
\] となります。

②実効値\( \ F \ \)　
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\sqrt {\frac {1}{T} \int _{0}^{T} f( \theta ) ^{2} \mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，これを正弦波\( \ v\left( t \right) =V_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }{V_{\mathrm {m}}}^{2}\sin ^{2}\omega t \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\frac {1-\cos 2\omega t}{2} \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\omega t -\frac {1}{4}\sin 2\omega t \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\pi -0 -0 +0 \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] となります。

2.波形率と波高率
交流における波形率と波高率は以下の通り定義されます。

①波形率
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
波形率&=&\frac {実効値}{平均値} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，正弦波\( \ v\left( t \right) =V_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)においては，
\[
\begin{eqnarray}
波形率&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}}{\displaystyle \frac {2}{\pi }V_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\pi }{2\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &≒&1.11 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②波高率
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
波高率&=&\frac {最大値}{実効値} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，正弦波\( \ v\left( t \right) =V_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)においては，
\[
\begin{eqnarray}
波高率&=&\frac {V_{\mathrm {m}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

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　　さまざまな交流波形の平均値・実効値まとめ

【解答】

解答：(4)
問題図の電圧の平均値\( \ V_{\mathrm {av}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {av}} &=&\frac {8\times 10+0\times 10}{20} \\[ 5pt ] &=&4 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，この電圧計は全波整流波交流の波形率を前提として測定値を表示するので，ワンポイント解説「2.波形率と波高率」の通り，指示値\( \ V_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {i}} &=&1.11V_{\mathrm {av}} \\[ 5pt ] &=&1.11\times 4 \\[ 5pt ] &=&4.44 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。