《機械》〈誘導機〉[H18:問16]三相かご形誘導電動機の二次銅損と一次入力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

三相かご形誘導電動機を周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の電源に接続して運転したとき，機械出力は\( \ 34.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)，滑りは\( \ 3 \ \mathrm {[％]} \ \)，固定子の銅損（一次銅損）は\( \ 3.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)，鉄損は\( \ 1.4 \ \mathrm {[kW]} \ \)であった。この電動機について，次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし，機械損は無視できるものとする。

(a)　この運転時の回転子の銅損（二次銅損）\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 0.89 \ \)　　(2)　\( \ 0.93 \ \)　　(3)　\( \ 1.08 \ \)　　(4)　\( \ 1.16 \ \)　　(5)　\( \ 1.20 \ \)　

(b)　この運転時の一次入力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 40.2 \ \)　　(2)　 \( \ 41.1 \ \)　　(3)　\( \ 42.2 \ \)　　(4)　\( \ 43.5 \ \)　　(5)　\( \ 44.8 \ \)

【ワンポイント解説】

三相かご形誘導電動機の二次銅損と一次入力を求める問題です。
計算自体は非常に単純なので，入出力と損失の関係の知識や問題文を読みとく能力が求められます。
本番で再出題されたら確実に正答しておきたい問題です。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}}&=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ] N&=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=& N_{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

4.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)
三相誘導電動機の一次入力が\( \ P_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力が\( \ P_{\mathrm {2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力が\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，鉄損が\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)，一次銅損が\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損が\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)であった時，各入力，出力の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {2}} &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {o}} &=&P_{\mathrm {2}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，誘導電動機の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {1}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(3)
機械出力\( \ P_{\mathrm {o}}=34.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)，滑り\( \ s=0.03 \ \)であるから，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {c2}} &=& \frac {s}{1-s}P_{\mathrm {o}} \\[ 5pt ] &=& \frac {0.03}{1-0.03}\times 34.8 \\[ 5pt ] &≒& 1.076　→　1.08 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
機械出力\( \ P_{\mathrm {o}}=34.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)，一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}}=3.8 \ \mathrm {[kW]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}}=1.076 \ \mathrm {[kW]} \ \)，鉄損\( \ P_{\mathrm {i}}=1.4 \ \mathrm {[kW]} \ \)であるから，一次入力\( \ P_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「4.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {1}} &=&P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&34.8+1.4+3.8+1.076 \\[ 5pt ] &≒&41.1 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。