【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図のような環状コイルがある。正弦波交流電源の電圧実効値を\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)，周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)としたとき，鉄心中の最大磁束は\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb]} \ \)であった。次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。
ただし，鉄心の漏れ磁束はなく，鉄心の飽和やヒステリシスもないものとする。
したがって，初期状態での残留磁気は\( \ 0 \ \)とする。
\(\mathrm {(a)} \ \) 電源の周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が一定で，電圧を\( \ 3E \ \mathrm {[V]} \ \)にしたとき，最大磁束\( \ \mathrm {[Wb]} \ \)は，\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb]} \ \)の何倍になるか。その倍率として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 1.0 \ \) (2) \( \ 0.11 \ \) (3) \( \ 0.33 \ \) (4) \( \ 3.0 \ \) (5) \( \ 9.0 \ \)
\(\mathrm {(b)} \ \) 電源の電圧を\( \ 3E \ \mathrm {[V]} \ \)のまま，周波数を\( \ 2f \ \mathrm {[Hz]} \ \)にしたとき，最大磁束\( \ \mathrm {[Wb]} \ \)は，\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb]} \ \)の何倍になるか。その倍率として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 0.67 \ \) (2) \( \ 0.17 \ \) (3) \( \ 3.0 \ \) (4) \( \ 1.5 \ \) (5) \( \ 0.50 \ \)
【ワンポイント解説】
環状コイルの電源電圧と周波数を変化させたときの最大磁束の変化を考える問題です。
しっかりと理解するには微分積分の知識が必要となりますので，とりあえず磁束と電圧，周波数の比例・反比例の関係を覚えておくようにして下さい。
本問は平成16年問15からの再出題となります。
1.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス\( \ L \ \)
図1に示すように，巻数\( \ N \ \)のコイルを貫通する磁束\( \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ \)があるとき，ファラデーの電磁誘導の法則より，コイルに発生する誘導起電力\( \ e \ \mathrm {[V]} \ \)は，磁束の時間変化\( \ \displaystyle \frac {\Delta \phi }{\Delta t} \ \)に比例し，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−N\frac {\Delta \phi }{\Delta t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。これをファラデーの電磁誘導の法則といいます。一方，電流変化\( \ \Delta I \ \mathrm {[A]} \ \)を考える場合，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−L\frac {\Delta I }{\Delta t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
という関係も成り立ち，\( \ L \ \mathrm {[H]}\ \)を自己インダクタンスと言います。これらの関係から，
\[
\begin{eqnarray}
−N\frac {\Delta \phi }{\Delta t}&=&−L\frac {\Delta I }{\Delta t} \\[ 5pt ]
N\phi &=&LI \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
2.環状ソレノイドの誘導起電力と鉄心中の磁束の関係
巻数\( \ N \ \)の環状ソレノイドの巻線の磁束が\( \ \phi = \phi _{\mathrm {m}}\cos \omega t \ \mathrm {[Wb]} \ \)で変化したときの誘導起電力\( \ e \ \mathrm {[V]} \ \)との関係は，ファラデーの電磁誘導の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&-N\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&=&-N\frac {\mathrm {d}\phi _{\mathrm {m}}\cos \omega t}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&=&-N\phi _{\mathrm {m}}\omega \left( -\sin \omega t \right) \\[ 5pt ]
&=&N\phi _{\mathrm {m}}\omega \sin \omega t \\[ 5pt ]
&=&N\phi _{\mathrm {m}}\cdot 2\pi f \sin \omega t \\[ 5pt ]
&=&2\pi fN\phi _{\mathrm {m}} \sin \omega t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，その実効値\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {2\pi }{\sqrt {2}}fN\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
&≒&4.44fN\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。微分の計算を伴うので，試験対策としては最後の式を暗記するようにして下さい。
【解答】
(a)解答：(4)
ワンポイント解説「2.環状ソレノイドの誘導起電力と鉄心中の磁束の関係」の通り，\( \ \displaystyle E∝f\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} ⇔\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}∝\frac {E}{f} \ \)の関係があるので，電源の周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が一定で，電圧を\( \ 3E \ \mathrm {[V]} \ \)としたときの最大磁束\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m1}} \ \mathrm {[Wb]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }_{\mathrm {m1}}&=&\frac {3E}{E}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
&=&3\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(4)
\( \ \mathrm {(a)} \ \)と同様に\( \ \displaystyle \mathit {\Phi }_{\mathrm {m}}∝\frac {E}{f} \ \)の関係があるので，電源の電圧を\( \ 3E \ \mathrm {[V]} \ \)，周波数を\( \ 2f \ \mathrm {[Hz]} \ \)にしたときの最大磁束\( \ \mathit {\Phi }_{\mathrm {m2}} \ \mathrm {[Wb]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }_{\mathrm {m2}}&=&\frac {f}{2f}\mathit {\Phi }_{\mathrm {m1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times 3\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ]
&=&1.5\mathit {\Phi }_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
