《電力》〈変電〉[H24:問17]変圧器の過負荷運転防止に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

定格容量\( \ 750 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)の三相変圧器に遅れ力率\( \ 0.9 \ \)の三相負荷\( \ 500 \ \mathrm {[kW]} \ \)が接続されている。

この三相変圧器に新たに遅れ力率\( \ 0.8 \ \)の三相負荷\( \ 200 \ \mathrm {[kW]} \ \)を接続する場合，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　負荷を追加した後の無効電力\( \ \mathrm {[kvar]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 339 \ \)　　(2)　\( \ 392 \ \)　　(3)　\( \ 472 \ \)　　(4)　\( \ 525 \ \)　　(5)　\( \ 610 \ \)

(b)　この変圧器の過負荷運転を回避するために，変圧器の二次側に必要な最小の電力用コンデンサ容量\( \ \mathrm {[kvar]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 50 \ \)　　(2)　\( \ 70 \ \)　　(3)　\( \ 123 \ \)　　(4)　\( \ 203 \ \)　　(5)　\( \ 256 \ \)

【ワンポイント解説】

用いられる公式はさほど難しいものではありませんが，少し計算量が多くなる問題と言えます。変圧器の定格容量は皮相電力であることに注意しましょう。

1.力率\( \ \cos \theta \ \)
電圧と電流の位相差が\( \ \theta \ \)(電流が遅れ)である時，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[kvar]} \ \)の関係は図1のように描くことができ，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] を力率と言います。

【解答】

(a)解答：(2)
元々接続されていた力率\( \ 0.9 \ \)の負荷を負荷\( \ 1 \ \)，新たに接続した力率\( \ 0.8 \ \)の負荷を負荷\( \ 2 \ \)とし、それぞれの電力及び力率を図2の通りとする。
図2よりそれぞれの負荷の\( \ \sin \theta _{1} \ \)，\( \ \sin \theta _{2} \ \)は，\( \ \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta _{1} &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{1} } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.9 ^{2} } \\[ 5pt ] &≒&0.4359 \\[ 5pt ] \sin \theta _{2} &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{2} } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.8 ^{2} } \\[ 5pt ] &=&0.6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，それぞれの無効電力の大きさ\( \ Q _{1} \ \)，\( \ Q _{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q _{1}&=&\frac {P_{1}}{\cos \theta _{1}}\cdot \sin \theta _{1} \\[ 5pt ] &=&\frac {500}{0.9}\times 0.4359 \\[ 5pt ] &≒&242.2 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] Q _{2}&=&\frac {P_{2}}{\cos \theta _{2}}\cdot \sin \theta _{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {200}{0.8}\times 0.6 \\[ 5pt ] &=&150 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，全体の無効電力は，
\[
\begin{eqnarray}
Q _{1}+Q _{2}&=&242.2+150 \\[ 5pt ] &=&392.2　→　392 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
負荷\( \ 2 \ \)接続後の全体のベクトル図は図3のようになる。
図3より，変圧器が過負荷とならない最大無効電力\( \ Q_{\mathrm {x}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {x}}&=&\sqrt {S^{2}-\left( P_{1}+P_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {750^{2}-\left( 500+200 \right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&269.3 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，過負荷とならないための最小の電力用コンデンサ容量\( \ Q_{\mathrm {C}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {C}}&=&Q _{1}+Q _{2}-Q_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=&392.2-269.3 \\[ 5pt ] &=&122.9　→　123 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。