《機械》〈回転機〉[H29:問15]電動機の効率と比例推移に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

定格出力\( \ 15 \ \mathrm {kW} \ \)，定格電圧\( \ 400 \ \mathrm {V} \ \)，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)，極数\( \ 4 \ \)の三相誘導電動機がある。この誘導電動機が定格電圧，定格周波数で運転されているとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　軸出力が\( \ 15 \ \mathrm {kW} \ \)，効率と力率がそれぞれ\( \ 90 \ ％ \ \)で運転されているときの一次電流の値\( \ [\mathrm {A}] \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 22 \ \)　　(2)　\( \ 24 \ \)　　(3)　\( \ 27 \ \)　　(4)　\( \ 33 \ \)　　(5)　\( \ 46 \ \)

(b)　この誘導電動機が巻線形であり，全負荷時の回転速度が\( \ 1746 \ \mathrm {min^{-1}} \ \)であるものとする。二次回路の各相に抵抗を追加して挿入したところ，全負荷時の回転速度が\( \ 1455 \ \mathrm {min^{-1}} \ \)となった。ただし，負荷トルクは回転速度によらず一定とする。挿入した抵抗の値は元の二次回路の抵抗の値の何倍であるか。最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 1.2 \ \)　　(2)　\( \ 2.2 \ \)　　(3)　\( \ 5.4 \ \)　　(4)　\( \ 6.4 \ \)　　(5)　\( \ 7.4 \ \)

【ワンポイント解説】

電動機の効率と比例推移に関する問題です。基本公式を理解していればそれほど難しい計算がないため，解きやすい問題と言えます。

1.三相誘導電動機の入力と出力，効率
定格電圧(線間電圧)\( \ V \ \)，一次電流\( \ I \ \)，力率\( \ \cos \theta \ \)とすると，入力\( \ P_{\mathrm {i}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {i}}&=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)，効率\( \ \eta \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
電動機の極数が\( \ p \ \)，周波数が\( \ f \ \)であるとすると，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.滑り\( \ s \ \)の定義
同期速度を\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)，回転子の回転速度を\( \ N \ \)とすると滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.比例推移の関係
電動機の二次抵抗を\( \ r_{2}^{\prime } \ \)として，外部抵抗を加えないときの滑りを\( \ s_{1} \ \)，外部抵抗\( \ R \ \)を加えた時の滑りを\( \ s_{2} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}^{\prime }}{s_{1}}&=&\frac {r_{2}^{\prime }+R}{s_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立する，すなわち滑りは外部抵抗により自由に変えられるという特徴があります。

【解答】

(a)解答：(3)
軸出力が\( \ 15 \ \mathrm {kW} \ \)，効率が\( \ 90 \ ％ \ \)であるから，入力\( \ P_{\mathrm {i}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {i}}&=&\frac {15}{0.9} \\[ 5pt ] &≒&16.7 \ [\mathrm {kW}] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。定格電圧\( \ V=400 \ \mathrm {V} \ \)，力率\( \ \cos \theta =90 \ ％\)であるから，一次電流\( \ I \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {P_{\mathrm {i}}}{\sqrt {3}V\cos \theta } \\[ 5pt ] &=&\frac {16.7\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 400\times 0.9 } \\[ 5pt ] &≒&27 \ [\mathrm {A}] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
定格周波数\( \ f \ \)が\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)，極数\( \ p \ \)が\( \ 4 \ \)であるため，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {120\times 60}{4} \\[ 5pt ] &=&1800 \ [\mathrm {min^{-1}}] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，負荷挿入前の滑り\( \ s_{1} \ \)は，外部抵抗挿入前の回転速度\( \ N_{1} \ \)が\( \ 1746 \ \mathrm {min^{-1}} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
s_{1}&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N_{1}}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1800-1746}{1800} \\[ 5pt ] &=&0.03 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。次に，負荷挿入後の滑り\( \ s_{2} \ \)は，外部抵抗挿入前の回転速度\( \ N_{2} \ \)が\( \ 1455 \ \mathrm {min^{-1}} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
s_{2}&=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N_{2}}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1800-1455}{1800} \\[ 5pt ] &≒&0.192 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「4.比例推移の関係」の関係より，二次抵抗を\( \ r_{2}^{\prime } \ \)，外部抵抗を\( \ R \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}^{\prime}}{s_{1}}&=&\frac {r_{2}^{\prime}+R}{s_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ R \ \)について整理し，\( \ s_{1} \ \)，\( \ s_{2} \ \)に値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
s_{1}\left( r_{2}^{\prime}+R\right) &=&s_{2}r_{2}^{\prime} \\[ 5pt ] s_{1}R&=&s_{2}r_{2}^{\prime}-s_{1}r_{2}^{\prime} \\[ 5pt ] R&=&\frac {s_{2}-s_{1}}{s_{1}}\times r_{2}^{\prime} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.192-0.03}{0.03}\times r_{2}^{\prime} \\[ 5pt ] &=&5.4r_{2}^{\prime} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。