《理論》〈電気回路〉[H18:問3]分布定数回路における特性インピーダンスの導出に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，分布定数回路に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図のように，特性インピーダンスが$ \ Z_{1} \ $と$ \ Z_{2} \ $の$ \ 2 \ $本の無損失線路と抵抗$ \ R \ $が接続されている。$ \ \mathrm {A} \ $，$ \ \mathrm {B} \ $それぞれの端子から接続点$ \ \mathrm {C} \ $に向かって波頭が階段状で波高値$ \ E \ $の電圧波が侵入したとき，以下の$ \ \mathrm {(a)} \ $，$ \ \mathrm {(b)} \ $に示す現象が見られた。ただし，両線路間に電気・磁気的結合はなく，また，$ \ \mathrm {A} \ $，$ \ \mathrm {B} \ $それぞれの端子では反射がないものとする。

$ \ \mathrm {(a)} \ $　図1のように$ \ \mathrm {A} \ $端子のみから電圧波が侵入したとき，接続点$ \ \mathrm {C} \ $では反射が生じない。

$ \ \mathrm {(b)} \ $　図2のように$ \ \mathrm {B} \ $端子のみから電圧波が侵入したとき，接続点$ \ \mathrm {C} \ $の電位を測定すると$ \ V \ $であった。

いま，$ \ Z_{2} \ $の値が既知であるとき，$ \ Z_{1} \ $，$ \ R \ $を求めたい。

現象$ \ \mathrm {(a)} \ $から$ \ Z_{2} \ $，$ \ R \ $を用いて$ \ Z_{1} \ $を表すと，次式となる。
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=& \ \fbox {　（１）　} \ 　・・・・・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 現象$ \ \mathrm {(b)} \ $に対して，接続点$ \ \mathrm {C} \ $での反射と透過により生じる電流$ \ i_{0} \ $，$ \ i_{1} \ $，$ \ i_{2} \ $を図2のようにとる。電流は入射波が接続点$ \ \mathrm {C} \ $に向かって進行する方向を正とする。接続点$ \ \mathrm {C} \ $での反射と透過により生じる電流はそれぞれ次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{l}
　　　　　 i_{0} &=& \displaystyle \frac {V}{R} \\
　　　　　 i_{1} &=& \ \fbox {　（２）　} \ \\
　　　　　 i_{2} &=& \ \fbox {　（３）　} \ \\
\end{array}
\right\}　・・・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] $ \ ① \ $，$ \ ② \ $式の関係と入射波による電流を考慮することにより，$ \ Z_{2} \ $，$ \ E \ $，$ \ V \ $を用いて$ \ Z_{1} \ $と$ \ R \ $を表すと
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=& \ \fbox {　（４）　} \ \\[ 5pt ] R &=& \ \fbox {　（５）　} \ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {V}{E}Z_{2}　　　　　&（ロ）&　-\frac {V-E}{Z_{2}}　　　　　&（ハ）&　\frac {V-E}{Z_{1}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {Z_{2}R}{R-Z_{2}}　　　　　　　&（ホ）&　\frac {V}{E-V}Z_{2}　　　　　&（ヘ）&　-\frac {V+E}{Z_{2}} \\[ 5pt ] &（ト）&　R+Z_{2}　　　　　&（チ）&　-\frac {E}{Z_{1}}　　　　　　　&（リ）&　\frac {V}{Z_{1}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {Z_{2}R}{Z_{2}+R}　　　　　&（ル）&　-\frac {V}{Z_{2}}　　　　　　&（ヲ）&　\frac {2V}{E}Z_{2} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {2V}{E-2V}Z_{2}　　　　　&（カ）&　\frac {V}{V+E}Z_{2}　　　　　　&（ヨ）&　\frac {E-V}{V}Z_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

分布定数回路について考える問題です。
$ \ 1 \ $種では比較的出題頻度が高い問題となります。パターン化されている部分もありますので，しっかりと関係式を理解して解いていくようにしましょう。

1.分布定数回路における接続点での関係式
図3のような，特性インピーダンスが$ \ Z_{1} \ $及び$ \ Z_{2} \ $の非常に長い無損失線路が接続されているときの接続点での関係式を考えます。
図の左側から波高値$ \ E \ $の電圧波が進入すると，接続点で一部の電圧が反射し，残りの電圧が透過します。このとき，入射波による電流を$ \ i \ $，反射波により生じる電圧及び電流を$ \ E_{1} \ $及び$ \ i_{1} \ $，透過波により生じる電圧及び電流を$ \ E_{2} \ $及び$ \ i_{2} \ $とし，いずれの電流も右向きに流れる電流を正とすると，以下の電圧と電流の関係式が成り立ちます。
\[
\begin{eqnarray}
E +E_{1}&=&E_{2} \\[ 5pt ] i +i_{1}&=&i_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] また，各電圧と電流には，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&Z_{1}i \\[ 5pt ] E_{1}&=&-Z_{1}i_{1} \\[ 5pt ] E_{2}&=&Z_{2}i_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成立します。

※　右向きを正とするので，電流$ \ i_{1} \ $が負の値になることに注意しましょう。

【解答】

(1)解答：ヌ
$ \ \mathrm {(a)} \ $の条件において，接続点$ \ \mathrm {C} \ $では反射が生じないので，$ \ \mathrm {A} \ $端子から侵入した電圧波$ \ E \ $はそのまま$ \ R \ $と$ \ Z_{2} \ $に透過することとなる。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E}{Z_{1}}&=&\frac {E}{Z_{2}}+\frac {E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立し，これを整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{Z_{1}}&=&\frac {1}{Z_{2}}+\frac {1}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {Z_{2}+R}{Z_{2}R} \\[ 5pt ] Z_{1}&=&\frac {Z_{2}R}{Z_{2}+R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：リ
図2において，接続点$ \ \mathrm {C} \ $から端子$ \ \mathrm {A} \ $に向かう透過波の関係式は，ワンポイント解説「1.分布定数回路における接続点での関係式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}&=&\frac {V}{Z_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ロ
図2における電圧電流の関係式は，ワンポイント解説「1.分布定数回路における接続点での関係式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{l}
　　　　　 E +E_{2}&=&V \\
　　　　　 i +i_{2}&=&i_{0}+i_{1} \\
\end{array}
\right\}　・・・・・・・・・・　③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，接続点$ \ \mathrm {C} \ $から端子$ \ \mathrm {B} \ $に向かう反射波の関係式は，ワンポイント解説「1.分布定数回路における接続点での関係式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
i_{2}&=&-\frac {E_{2}}{Z_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，③の$ \ E +E_{2}=V \ $の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
i_{2}&=&-\frac {V-E}{Z_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：イ
③の電流の関係式に②式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E}{Z_{2}} -\frac {V-E}{Z_{2}}&=&\frac {V}{R}+\frac {V}{Z_{1}} \\[ 5pt ] \frac {E}{Z_{2}} -\frac {V}{Z_{2}}+\frac {E}{Z_{2}}&=&\frac {V}{R}+\frac {V}{Z_{1}} \\[ 5pt ] \frac {E}{Z_{2}}+\frac {E}{Z_{2}}&=&\frac {V}{R}+\frac {V}{Z_{1}}+\frac {V}{Z_{2}} \\[ 5pt ] \frac {2E}{Z_{2}}&=&V\left( \frac {1}{R}+\frac {1}{Z_{1}}+\frac {1}{Z_{2}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，(1)より，$ \ \displaystyle \frac {1}{Z_{1}}=\frac {1}{Z_{2}}+\frac {1}{R} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {2E}{Z_{2}}&=&V\left( \frac {1}{Z_{1}}+\frac {1}{Z_{1}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {2V}{Z_{1}} \\[ 5pt ] Z_{1}&=&\frac {V}{E}Z_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ホ
$ \ \displaystyle \frac {1}{Z_{1}}=\frac {1}{Z_{2}}+\frac {1}{R} \ $の関係式に(4)解答式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E}{VZ_{2}}&=&\frac {1}{Z_{2}}+\frac {1}{R} \\[ 5pt ] \frac {1}{R}&=&\frac {E}{VZ_{2}}-\frac {1}{Z_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {E-V}{VZ_{2}} \\[ 5pt ] R&=&\frac {V}{E-V}Z_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。