《機械・制御》〈変圧器〉[H23:問2]スコット結線をした変圧器の各値及び利用率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図に示すように，線間電圧\( \ 110 \ \mathrm {[kV]} \ \)の対称三相交流にスコット結線した\( \ 2 \ \)台の単相変圧器\( \ \mathrm {T_{m}} \ \)（主座変圧器）及び\( \ \mathrm {T_{t}} \ \)（\( \ \mathrm {T} \ \)座変圧器）を接続した。各変圧器の二次側定格出力は，ともに皮相電力\( \ 10 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)，電圧\( \ 60 \ \mathrm {[kV]} \ \)で，二次側の電圧及び電流の位相はいずれも主座変圧器が\( \ \mathrm {T} \ \)座変圧器に対して\( \ 90 \ \mathrm {[°]} \ \)遅れているものとする。

変圧器の励磁電流及び短絡インピーダンスは無視できるものとして，次の問に答えよ。

(1)　主座変圧器及び\( \ \mathrm {T} \ \)座変圧器それぞれについて次の値を求めよ。ただし，主座変圧器に関する値の記号は添字\( \ \mathrm {m} \ \)，\( \ \mathrm {T} \ \)座変圧器に関する値の記号は添字\( \ \mathrm {t} \ \)を付している。

a.巻数比（一次巻線の巻数の二次巻線の巻数に対する比）\( \ a_{\mathrm {m}} \ \)，\( \ a_{\mathrm {t}} \ \)

b.定格皮相電力を出力したときの一次巻線に流れる電流\( \ I_{\mathrm {V}} \ \)，\( \ I_{\mathrm {U}} \ \)

c.一次巻線の容量\( \ P_{\mathrm {m}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {t}} \ \)

(2)　このスコット結線変圧器の総合での利用率を求めよ。

【ワンポイント解説】

スコット結線変圧器に関する問題です。
スコット結線変圧器の利用率が\( \ 92.8 \ \mathrm {[％]} \ \)であることを知っていると，あとはどのようにして正答を導くかという問題になり，計算ミスの可能性が大幅に減るので，数値は覚えておいた方が良いかと思います。

1.スコット結線変圧器
単相変圧器を図1のように接続することで，図2に示すようなベクトル図の電圧を取り出すことができる結線方式です。
一次側の\( \ V_{\mathrm {VW}} \ \)と\( \ V_{\mathrm {UO}} \ \)がそれぞれ二次側に変圧され，その電圧の大きさは図2に示す直角三角形の関係を用いれば\( \ 2 : \sqrt {3} \ \)であることが分かります。
したがって，巻数比の関係を\( \ 2 : \sqrt {3} \ \)とすれば，二次側に同じ大きさで位相が\( \ 90° \ \)異なる電圧を取り出すことができます。

【解答】

(1)a.巻数比\( \ a_{\mathrm {m}} \ \)，\( \ a_{\mathrm {t}} \ \)
それぞれの変圧器の一次側電圧\( \ V_{\mathrm {VW}} \ \mathrm {[kV]} \ \)及び\( \ V_{\mathrm {UO}} \ \mathrm {[kV]} \ \)は，図2より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {VW}}&=&110 \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {UO}}&=&\frac {110\sqrt {3}}{2} \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，二次側電圧\( \ V_{\mathrm {vo}} \ \)及び\( \ V_{\mathrm {uo}} \ \)はともに\( \ 60 \ \mathrm {[kV]} \ \)であるから，巻数比\( \ a_{\mathrm {m}} \ \)及び\( \ a_{\mathrm {t}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
a_{\mathrm {m}}&=&\frac {V_{\mathrm {VW}}}{V_{\mathrm {vo}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {110}{60} \\[ 5pt ] &≒&1.8333　→　1.83 \\[ 5pt ] a_{\mathrm {t}}&=&\frac {V_{\mathrm {UO}}}{V_{\mathrm {uo}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {110\sqrt {3}}{2}}{60} \\[ 5pt ] &≒&1.5877　→　1.59 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(1)b.定格皮相電力を出力したときの\( \ I_{\mathrm {V}} \ \)，\( \ I_{\mathrm {U}} \ \)
二次巻線に流れる電流\( \ I_{\mathrm {v}} \ \mathrm {[A]} \ \)及び\( \ I_{\mathrm {u}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {v}}&=&\frac {10 \times 10^{6}}{60\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒&166.67 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {u}}&=&\frac {10 \times 10^{6}}{60\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒&166.67 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，\( \ \mathrm {T} \ \)座変圧器の一次巻線に流れる電流\( \ I_{\mathrm {U}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {U}}&=&\frac {I_{\mathrm {u}}}{a_{\mathrm {t}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {166.67}{1.5877} \\[ 5pt ] &≒&104.97　→　105 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。主座変圧器の二次電流\( \ I_{\mathrm {v}} \ \)を流すための一次電流\( \ I_{\mathrm {M}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {M}}&=&\frac {I_{\mathrm {v}}}{a_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {166.67}{1.8333} \\[ 5pt ] &≒&90.913 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，\( \ I_{\mathrm {U}} \ \)は結合点\( \ \mathrm {O} \ \)で分流し\( \ \displaystyle \frac {1}{2}I_{\mathrm {U}} \ \)ずつ流れ，\( \ I_{\mathrm {V}} \ \)は\( \ I_{\mathrm {M}} \ \)と\( \ \displaystyle \frac {1}{2}I_{\mathrm {U}} \ \)のベクトル合成となる。
ここで，図2より，\( \ I_{\mathrm {U}} \ \)と\( \ I_{\mathrm {M}} \ \)の位相差が\( \ 90° \ \)であることから，\( \ I_{\mathrm {V}} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {V}}&=&\sqrt {I_{\mathrm {M}}^{2}+\left( \frac {1}{2}I_{\mathrm {U}} \right) ^{2} } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {90.913^{2}+\left( \frac {1}{2}\times 104.97 \right) ^{2} } \\[ 5pt ] &≒&104.98　→　105 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(1)c.一次巻線の容量\( \ P_{\mathrm {m}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {t}} \ \)
a及びbより，一次巻線の容量\( \ P_{\mathrm {m}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {t}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}}&=&V_{\mathrm {VW}}I_{\mathrm {V}} \\[ 5pt ] &=&110\times 10^{3}\times 104.98 \\[ 5pt ] &≒&1.1548\times 10^{7} \ \mathrm {[V\cdot A]}　→　11.5 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {t}}&=&V_{\mathrm {UO}}I_{\mathrm {U}} \\[ 5pt ] &=&\frac {110\sqrt {3}}{2}\times 10^{3}\times 104.97 \\[ 5pt ] &≒&9.9997\times 10^{6} \ \mathrm {[V\cdot A]}　→　10.0 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

(2)スコット結線変圧器の総合での利用率
利用率は二次巻線での合計皮相電力の一次巻線の合計容量に対する割合であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {10+10}{P_{\mathrm {m}}+P_{\mathrm {t}}}\times 100&=&\frac {10+10}{11.548+9.9997}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&92.8 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。