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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，平行平板コンデンサに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，平行平板コンデンサの極板間に二種類の誘電体\( \ \mathrm {1} \ \)，誘電体\( \ \mathrm {2} \ \)が挿入されている。各誘電体の誘電率は\( \ \varepsilon _{1} \ \)，\( \ \varepsilon _{2} \ \)であり，厚さはともに\( \ d \ \)である。極板の面積は\( \ S \ \)であり，端効果は無視できるものとする。
コンデンサの極板間には直流電圧が印加されており，各極板に単位面積あたり\( \ ±\sigma \ \)の電荷が図に示すように現れている。このときの誘電体\( \ \mathrm {1} \ \)中の電束密度の大きさは\( \ \fbox { （１） } \ \)，電界の大きさは\( \ \fbox { （２） } \ \)と表される。同様に誘電体\( \ \mathrm {2} \ \)中の電界の大きさを求めると，コンデンサの極板間に印加された電圧は\( \ \fbox { （３） } \ \)と表すことができる。
コンデンサ全体に蓄えられた電界のエネルギーは\( \ \fbox { （４） } \ \)と表される。誘電体\( \ \mathrm {1} \ \)の領域に蓄えられた電界のエネルギーが誘電体\( \ \mathrm {2} \ \)の領域に蓄えられた電界のエネルギーよりも大きい場合，誘電体\( \ \varepsilon _{1} \ \)と\( \ \varepsilon _{2} \ \)の間には\( \ \fbox { （５） } \ \)の関係が成立する。
〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {\varepsilon _{1}\sigma }{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}} &（ロ）& \frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma d}{\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}} &（ハ）& \frac {\sigma }{\varepsilon _{1}} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \varepsilon _{1}\gt \varepsilon _{2} &（ホ）& \varepsilon _{1}\varepsilon _{2}=0 &（ヘ）& \varepsilon _{1}\lt \varepsilon _{2} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {\sigma }{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}} &（チ）& \frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma ^{2}S}{2d} &（リ）& \frac {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\sigma d}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma ^{2} dS}{2\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}} &（ル）& 2\sigma &（ヲ）& \frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma }{d} \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\sigma ^{2} dS}{2\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) } &（カ）& \sigma &（ヨ）& \varepsilon _{1}\sigma \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
平行平板コンデンサに関する問題です。
(1)は静電界の概念がしっかりと理解されている方には易しく，ただ公式を丸暗記している方だと難しく感じる空欄かと思います。
\( \ 2 \ \)種の勉強を進める上ではできるだけ中身を理解しながら学習していくようにしましょう。
1.ガウスの定理
\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)から出る電気力線は\( \ \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon } \ \)本，電束は\( \ Q \ \)本であり，電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)及び電束密度\( \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ \)との関係は，任意の閉曲面において，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{S} \boldsymbol E \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
\int _{S} \boldsymbol D \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& Q \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをガウスの定理といいます。
2.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係
極板間の距離\( \ d \ \)の平行平板コンデンサに電圧\( \ V \ \)をかけると，極板間の電界\( \ E \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係
極板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \)とすると，電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
4.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)
平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，\( \ Q=CV \ \)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
5.平行平板コンデンサのエネルギー密度\( \ w \ \)
平行平板コンデンサ内のエネルギー密度\( \ w \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
w &=&\frac {1}{2}\varepsilon E^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
(1)解答：カ
ワンポイント解説「1.ガウスの定理」より，単位面積あたりの電荷\( \ \sigma \ \)と電束密度\( \ D \ \)の大きさは等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\sigma \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ハ
ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係」の通り，誘電体\( \ \mathrm {1} \ \)における電界\( \ E_{1} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&\frac {D}{\varepsilon _{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma }{\varepsilon _{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ロ
(2)と同様に，誘電体\( \ \mathrm {2} \ \)における電界\( \ E_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}&=&\frac {D}{\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma }{\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係」の通り，極板間に印加された電圧\( \ V \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&E_{1}d+E_{2}d \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma }{\varepsilon _{1}}\cdot d+\frac {\sigma }{\varepsilon _{2}}\cdot d \\[ 5pt ]
&=&\left( \frac {1}{\varepsilon _{1}}+\frac {1}{\varepsilon _{2}}\right) \sigma d \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma d}{\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヌ
ワンポイント解説「5.平行平板コンデンサのエネルギー密度\( \ w \ \)」の通り，誘電体\( \ \mathrm {1} \ \)のエネルギー密度\( \ w_{1} \ \)及び誘電体\( \ \mathrm {2} \ \)のエネルギー密度\( \ w_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
w_{1} &=&\frac {1}{2}\varepsilon _{1}E_{1}^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\varepsilon _{1}\left( \frac {\sigma }{\varepsilon _{1}}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma ^{2}}{2\varepsilon _{1}} \\[ 5pt ]
w_{2} &=&\frac {1}{2}\varepsilon _{2}E_{2}^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\varepsilon _{2}\left( \frac {\sigma }{\varepsilon _{2}}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma ^{2}}{2\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，それぞれの誘電体に蓄えられるエネルギー\( \ W_{1} \ \)及び\( \ W_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{1} &=&w_{1}dS \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2\varepsilon _{1}} \\[ 5pt ]
W_{2} &=&w_{2}dS \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，コンデンサ全体に蓄えられたエネルギー\( \ W \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&W_{1}+W_{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2\varepsilon _{1}}+\frac {\sigma ^{2}dS}{2\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
&=&\left( \frac {1}{\varepsilon _{1}}+\frac {1}{\varepsilon _{2}}\right) \frac {\sigma ^{2}dS}{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma ^{2} dS}{2\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
［別解］
誘電体\( \ \mathrm {1} \ \)の静電容量\( \ C_{1} \ \)及び誘電体\( \ \mathrm {2} \ \)の静電容量\( \ C_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1} &=&\frac {\varepsilon _{1}S}{d} \\[ 5pt ]
C_{2} &=&\frac {\varepsilon _{2}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，合成静電容量\( \ C \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {\varepsilon _{1}S}{d}\cdot \frac {\varepsilon _{2}S}{d}}{\displaystyle \frac {\varepsilon _{1}S}{d}+\frac {\varepsilon _{2}S}{d}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}S}{\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，コンデンサ全体に蓄えられたエネルギー\( \ W \ \)は，ワンポイント解説「4.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}S}{\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) d} \left\{ \frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma d}{\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}}\right\} ^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) \sigma ^{2} dS}{2\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ヘ
\[
\begin{eqnarray}
W_{1} &=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2\varepsilon _{1}} \\[ 5pt ]
W_{2} &=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
より，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{1} &=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2W_{1}} \\[ 5pt ]
\varepsilon _{2} &=&\frac {\sigma ^{2}dS}{2W_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるから，\( \ W_{1} \gt W_{2} \ \)のとき，\( \ \varepsilon _{1}\lt \varepsilon _{2} \ \)の関係が成立する。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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