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【問題】
【難易度】★★★★★（難しい）
三相\( \ 3 \ \)線式高圧配電線の電圧降下について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
図のように，送電端\( \ \mathrm {S} \ \)点から三相\( \ 3 \ \)線式高圧配電線で\( \ \mathrm {A} \ \)点，\( \ \mathrm {B} \ \)点及び\( \ \mathrm {C} \ \)点の負荷に電力を供給している。\( \ \mathrm {S} \ \)点の線間電圧は\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {V} \ \)であり，配電線\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗及びリアクタンスはそれぞれ\( \ 0.3 \ \mathrm {\Omega / km} \ \)とする。
(a) \( \ \mathrm {S-A} \ \)間を流れる電流の値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 405 \ \) (2) \( \ 420 \ \) (3) \( \ 435 \ \) (4) \( \ 450 \ \) (5) \( \ 465 \ \)
(b) \( \ \mathrm {A-B} \ \)における電圧降下率の値\( \ \mathrm {[％]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 4.9 \ \) (2) \( \ 5.1 \ \) (3) \( \ 5.3 \ \) (4) \( \ 5.5 \ \) (5) \( \ 5.7 \ \)
【ワンポイント解説】
高圧配電線路の電圧降下率を検討する問題です。
一見よくあるパターンの易しそうな問題ですが，各負荷の力率がバラバラであったり，電圧降下を何度も求めたりとかなり計算量の多い問題でした。
(b)に関してはきちんと計算し正答した受験生は少ないと思いますので，(a)を確実に得点できるようにしましょう。
1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図1のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図1において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.配電線の電圧降下の近似式
本問は送電線ですが，配電線と全く同じ考え方が適用できますので，配電線の単相\( \ 2 \ \)線式及び三相\( \ 3 \ \)線式の電圧降下を紹介します。
①単相\( \ 2 \ \)線式配電線の電圧降下
単相\( \ 2 \ \)線式線路は図2のような回路になり，負荷に対して供給される線路と戻りの線路の\( \ 2 \ \)段階で電圧降下が発生します。したがって，負荷の力率が遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)であるときのベクトル図を描くと図3のようになります。
図3のベクトル図において，\( \ {\dot V}_{\mathrm {s}} \ \)と\( \ {\dot V}_{\mathrm {r}} \ \)の位相差が十分に小さいと仮定すると，線路の電圧降下\( \ \varepsilon =V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}&≃&V_{\mathrm {r}}+2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ]
\varepsilon &=&2I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
②三相\( \ 3 \ \)線式配電線の電圧降下
三相回路においては，一相分の等価回路及びベクトル図は図4及び図5のように描くことができ，三相分の電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}&≃&\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}+RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ]
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}-\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}&=&RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&\sqrt {3}\left( RI\cos \theta +XI\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
3.複素平面における複素数の表記方法
図6のような複素空間上の値\( \ \dot Z =R+\mathrm {j}X \ \)において，以下のような表記方法が定義されます。
ただし，\( \ \dot Z \ \)の絶対値\( \ \left| \dot Z\right| = \sqrt {R^{2}+X^{2}} \ \)，\( \ \dot Z \ \)と実軸となす角を\( \ \theta \ \)とします。
①直交座標表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| \left( \cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②指数表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| \mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta }&=&\cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これをオイラーの公式といいます。
③極座標表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| ∠\theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(a)解答：(5)
\( \ \mathrm {A} \ \)点，\( \ \mathrm {B} \ \)点，\( \ \mathrm {C} \ \)点の各力率が\( \ \cos \theta _{\mathrm {A}}=0.8 \ \)，\( \ \cos \theta _{\mathrm {B}}=1.0 \ \)，\( \ \cos \theta _{\mathrm {C}}=0.6 \ \)であることから，各負荷の\( \ \sin \theta _{\mathrm {A}} \ \)，\( \ \sin \theta _{\mathrm {B}} \ \)，\( \ \sin \theta _{\mathrm {C}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta _{\mathrm {A}}&=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta _{\mathrm {A}}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.8 ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&0.6 \\[ 5pt ]
\sin \theta _{\mathrm {B}}&=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta _{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-1 ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
\sin \theta _{\mathrm {C}}&=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta _{\mathrm {C}}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.6 ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&0.8 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。\( \ \mathrm {A} \ \)点，\( \ \mathrm {B} \ \)点，\( \ \mathrm {C} \ \)点の負荷電流の複素電流を\( \ {\dot I}_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，ワンポイント解説「3.複素平面における複素数の表記方法」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {A}}&=&I_{\mathrm {A}}\left( \cos \theta _{\mathrm {A}}-\mathrm {j}\sin \theta _{\mathrm {A}}\right) \\[ 5pt ]
&=&200\times \left( 0.8-\mathrm {j}0.6\right) \\[ 5pt ]
&=&160-\mathrm {j}120 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {B}}&=&I_{\mathrm {B}}\left( \cos \theta _{\mathrm {B}}-\mathrm {j}\sin \theta _{\mathrm {B}}\right) \\[ 5pt ]
&=&100\times \left( 0.6-\mathrm {j}0.8\right) \\[ 5pt ]
&=&60-\mathrm {j}80 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {C}}&=&I_{\mathrm {C}}\left( \cos \theta _{\mathrm {C}}-\mathrm {j}\sin \theta _{\mathrm {C}}\right) \\[ 5pt ]
&=&200\times \left( 1.0-\mathrm {j}0\right) \\[ 5pt ]
&=&200 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ \mathrm {S-A} \ \)間を流れる電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {S}}&=&{\dot I}_{\mathrm {A}}+{\dot I}_{\mathrm {B}}+{\dot I}_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ]
&=&160-\mathrm {j}120+60-\mathrm {j}80+200 \\[ 5pt ]
&=&420-\mathrm {j}200 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，その大きさ\( \ I_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {S}}&=&\sqrt {420^{2}+200^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&465.2 → 465 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(2)
\( \ \mathrm {S-A} \ \)間の配電線\( \ 1 \ \)線あたりの抵抗\( \ R_{\mathrm {SA}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及びリアクタンス\( \ X_{\mathrm {SA}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {SA}}&=&0.3\times 2 \\[ 5pt ]
&=&0.6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
X_{\mathrm {SA}}&=&0.3\times 2 \\[ 5pt ]
&=&0.6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，(a)より，\( \ {\dot I}_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[A]} \ \)の力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {S}} \ \)及び\( \ \sin \theta _{\mathrm {S}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{\mathrm {S}}&=&\frac {420}{465.2} \\[ 5pt ]
&≒&0.9028 \\[ 5pt ]
\sin \theta _{\mathrm {S}}&=&\frac {200}{465.2} \\[ 5pt ]
&≒&0.4299 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，\( \ \mathrm {S-A} \ \)間の電圧降下\( \ \varepsilon _{\mathrm {SA}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「2.配電線の電圧降下の近似式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{\mathrm {SA}}&=&\sqrt {3}I_{\mathrm {S}}\left( R_{\mathrm {SA}}\cos \theta _{\mathrm {S}}+X_{\mathrm {SA}}\sin \theta _{\mathrm {S}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 465.2\times \left( 0.6\times 0.9028+0.6\times 0.4299\right) \\[ 5pt ]
&≒&644.3 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ \mathrm {A} \ \)点の電圧\( \ V_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，\( \ \mathrm {S} \ \)点の電圧\( \ V_{\mathrm {S}}=6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {A}}&=&V_{\mathrm {S}}-\varepsilon _{\mathrm {SA}} \\[ 5pt ]
&=&6 \ 600-644.3 \\[ 5pt ]
&≒&5 \ 956 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。同様に，\( \ \mathrm {A-B} \ \)間の配電線\( \ 1 \ \)線あたりの抵抗\( \ R_{\mathrm {AB}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及びリアクタンス\( \ X_{\mathrm {AB}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {AB}}&=&0.3\times 4 \\[ 5pt ]
&=&1.2 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
X_{\mathrm {AB}}&=&0.3\times 4 \\[ 5pt ]
&=&1.2 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，電圧降下\( \ \varepsilon _{\mathrm {AB}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「2.配電線の電圧降下の近似式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{\mathrm {AB}}&=&\sqrt {3}I_{\mathrm {B}}\left( R_{\mathrm {AB}}\cos \theta _{\mathrm {B}}+X_{\mathrm {AB}}\sin \theta _{\mathrm {B}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 100\times \left( 1.2\times 0.6+1.2\times 0.8\right) \\[ 5pt ]
&≒&291.0 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，電圧降下率\( \ ％\varepsilon _{\mathrm {AB}} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％\varepsilon _{\mathrm {AB}}&=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {AB}}}{V_{\mathrm {A}}-\varepsilon _{\mathrm {AB}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {291.0}{5 \ 956-291.0}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&5.14 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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