《機械》〈変圧器〉[H29:問8]変圧器の効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

定格容量\(50\mathrm {kV\cdot A}\)の単相変圧器において,力率1の負荷で全負荷運転したときに,銅損が\(1000\mathrm {W}\),鉄損が\(250\mathrm {W}\)となった。力率1を維持したまま負荷を調整し,最大効率となる条件で運転した。鉄損と銅損以外の損失は無視できるものとし,この最大効率となる条件での効率の値[%]として最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) 95.2  (2) 96.0  (3) 97.6  (4) 98.0  (5) 99.0

【ワンポイント解説】

変圧器の効率に関する問題は頻出の問題です。慣れてしまえばそれほど難しくはないので,確実に理解しておきましょう。

1.変圧器の効率\(\eta \)と最大効率\(\eta _{\mathrm {m}}\)
変圧器の損失は鉄損\(p_{\mathrm {i}}\)と銅損\(p_{\mathrm {c}}\)があり,\(p_{\mathrm {i}}\)は負荷によらず一定であり,\(p_{\mathrm {c}}\)は負荷(電流)の2乗に比例する。従って,定格出力\(P_{\mathrm {n}}\)で利用率\(\alpha \)の時の変圧器の効率\(\eta \)は,
\[
\eta =\frac {出力}{入力}=\frac {出力}{出力+損失}=\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}}
\] となる。
次に,最大効率\(\eta _{\mathrm {m}}\)を求めます。上式の分母分子を\(\alpha \)で割ると
\[
\eta =\frac {P_{\mathrm {n}}}{P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}}
\] となり,効率が最大となるためには,上式の分母が最小となれば良いです。よって,\(\displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}\)と置くと,
\[
\frac {dA}{d\alpha }=-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}}
\] となる。よって\(\displaystyle \frac {dA}{d\alpha }=0\)となるとき,\(p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}\)である。すなわち,鉄損と銅損が等しい時効率は最大となる。

 ※ 本問題を解く上では,鉄損と銅損が等しい時,効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

【解答】

解答:(4)
鉄損と銅損が等しい時,効率が最大となるから,鉄損を\(p_{\mathrm {i}}\),全負荷時の銅損を\(p_{\mathrm {c}}\),最大効率となる時の利用率を\(\alpha \)とすると,
\[
p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}
\] が成立するため,\(\alpha \)を求めると,
\[
250=\alpha ^{2}\times 1000
\] \[
⇔\alpha =0.5
\] となる。よって,力率1で最大効率となる負荷\(P_{\mathrm {m}}\)は,
\[
P_{\mathrm {m}}=50\times 0.5=25[\mathrm {kW}] \] となり,この時の効率\(\eta _{\mathrm {m}}\)は,
\[
\eta _{\mathrm {m}}=\frac {25\times 10^{3}}{25\times 10^{3}+250+250}\times 100≒98.0[%] \] と求められる。