《機械》〈誘導機〉[R06下:問4]三相誘導電動機の二次銅損の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

電源に接続された三相誘導電動機が駆動されている。電源の線間電圧\( \ V_{\mathrm {n}} \ \)は\( \ 400 \ \mathrm {V} \ \)，電源から供給される線電流\( \ I_{l} \ \)は\( \ 25.8 \ \mathrm {A} \ \)，力率は\( \ 0.8 \ \)である。この場合の滑り\( \ s \ \)が\( \ 4 \ \mathrm {％} \ \)であり，鉄損\( \ P_{\mathrm {i}} \ \)及び一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \)の値は，共に，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の値の\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)である。この場合の二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の値\( \ \mathrm {[W]} \ \)として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，その他の損失は無視できるものとする。

　(1)　\( \ 318 \ \)　　(2)　\( \ 344 \ \)　　(3)　\( \ 550 \ \)　　(4)　\( \ 571 \ \)　　(5)　\( \ 596 \ \)

【ワンポイント解説】

与えられた条件から二次銅損を求める問題です。
あまり電験では出題されてこなかったパターンの問題なので，本番で苦戦する受験生も多かったと思います。
誘導機の出力と損失の関係はしっかりと理解するようにして下さい。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}}&=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ] N&=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=& N_{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

4.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)
三相誘導電動機の一次入力が\( \ P_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力が\( \ P_{\mathrm {2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力が\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，鉄損が\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)，一次銅損が\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損が\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)であった時，各入力，出力の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {2}} &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {o}} &=&P_{\mathrm {2}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，誘導電動機の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {1}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(3)
電源の線間電圧\( \ V_{\mathrm {n}}=400 \ \mathrm {[V]} \ \)，電源から供給される線電流\( \ I_{l}=25.8 \ \mathrm {[A]} \ \)，力率\( \ \cos \theta =0.8 \ \)より，一次入力\( \ P_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {1}} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{l}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 400\times 25.8\times 0.8 \\[ 5pt ] &≒&14 \ 300 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，ワンポイント解説「3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=&\frac {1-s}{s}P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表される。よって，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，鉄損\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)，一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)の関係から，ワンポイント解説「4.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {1}} &=&P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1-s}{s}P_{\mathrm {c2}}+\frac {1}{2}P_{\mathrm {c2}}+\frac {1}{2}P_{\mathrm {c2}}+P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {1-s}{s}+\frac {1}{2}+\frac {1}{2}+1\right) P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] 14 \ 300&=&\left( \frac {1-0.04}{0.04}+\frac {1}{2}+\frac {1}{2}+1\right) P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] 26P_{\mathrm {c2}}&=&14 \ 300 \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}}&=&550 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。