《理論》〈電磁気〉[H21:問1]平行平板コンデンサの電界、電束密度、電荷に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

電極板面積と電極板間隔が共に$\ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $と$\ d \ \mathrm {[m]} \ $で，一方は比誘電率が$\ \varepsilon _{\mathrm {r1}} \ $の誘電体からなる平行平板コンデンサ$\ C_{1} \ $と，他方は比誘電率が$\ \varepsilon _{\mathrm {r2}} \ $の誘電体からなる平行平板コンデンサ$\ C_{2} \ $がある。いま，これらを図のように並列に接続し，端子$\ \mathrm {A} \ $，$\ \mathrm {B} \ $間に直流電圧$\ V_{0} \ \mathrm {[V]} \ $を加えた。このとき，コンデンサ$\ C_{1} \ $の電極板間の電界の強さを$\ E_{1} \ \mathrm {[V / m]} \ $，電束密度を$\ D_{1} \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $，また，コンデンサ$\ C_{2} \ $の電極板間の電界の強さを$\ E_{2} \ \mathrm {[V / m]} \ $，電束密度を$\ D_{2} \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $とする。両コンデンサの電界の強さ$\ E_{1} \ \mathrm {[V / m]} \ $と$\ E_{2} \ \mathrm {[V / m]} \ $はそれぞれ$\ \fbox {　 （ア） 　} \ $であり, 電束密度$\ D_{1} \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $と$\ D_{2} \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $はそれぞれ$\ \fbox {　 （イ） 　} \ $である。したがって，コンデンサ$\ C_{1} \ $に蓄えられる電荷を$\ Q_{1} \ \mathrm {[C]} \ $，コンデンサ$\ C_{2} \ $に蓄えられる電荷を$\ Q_{2} \ \mathrm {[C]} \ $とすると，それらはそれぞれ$\ \fbox {　 （ウ） 　} \ $となる。

ただし，電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は，無視できるものとする。また，真空の誘電率を$\ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ $とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)及び(ウ)に当てはまる式として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

$$\begin{array}{cccc} & （ア） & （イ） & （ウ） \\ \hline (1) & 　{\displaystyle E_{1}=\frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0}}　\atop 　{\displaystyle E_{2}=\frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0}}　 & 　{\displaystyle D_{1}=\frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle D_{2}=\frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0}}　 & 　{\displaystyle Q_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle Q_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0}}　 \\ \hline (2) & 　{\displaystyle E_{1}=\frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0}}　\atop 　{\displaystyle E_{2}=\frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0}}　 & 　{\displaystyle D_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0}}　\atop 　{\displaystyle D_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0}}　 & 　{\displaystyle Q_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle Q_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0}}　 \\ \hline (3) & 　{\displaystyle E_{1}=\frac {V_{0}}{d}}　\atop 　{\displaystyle E_{2}=\frac {V_{0}}{d}}　 & 　{\displaystyle D_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle D_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0}}　 & 　{\displaystyle Q_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0}}　\atop 　{\displaystyle Q_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0}}　 \\ \hline (4) & 　{\displaystyle E_{1}=\frac {V_{0}}{d}}　\atop 　{\displaystyle E_{2}=\frac {V_{0}}{d}}　 & 　{\displaystyle D_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0}}　\atop 　{\displaystyle D_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0}}　 & 　{\displaystyle Q_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle Q_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0}}　 \\ \hline (5) & 　{\displaystyle E_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle E_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0}}　 & 　{\displaystyle D_{1}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0}}　\atop 　{\displaystyle D_{2}=\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0}}　 & 　{\displaystyle Q_{1}=\frac {\varepsilon _{0}}{d}SV_{0}}　\atop 　{\displaystyle Q_{2}=\frac {\varepsilon _{0}}{d}SV_{0}}　 \\ \hline \end{array}$$

【ワンポイント解説】

比誘電率の異なる平行平板コンデンサの電界の強さ，電束密度及び蓄えられる電荷の大きさを求める問題です。
平行平板コンデンサの各公式を理解していれば，正答できそうな問題です。平行平板コンデンサはほぼ毎年出題されますので，各公式は必ず覚えておくようにして下さい。

1.電荷$\ Q \ $と静電容量$\ C \ $及び電圧$\ V \ $の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷$\ Q \ \mathrm {[C]} \ $と静電容量$\ C \ \mathrm {[F]} \ $及び電圧$\ V \ \mathrm {[V]} \ $には，
$$\begin{eqnarray} Q &=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ の関係があります。

2.平行平板コンデンサの静電容量$\ C \ $
平行平板コンデンサの静電容量$\ C \ \mathrm {[F]} \ $は，真空の誘電率を$\ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ $，極板の面積を$\ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，極板間の距離を$\ d \ \mathrm {[m]} \ $とすると，
$$\begin{eqnarray} C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率$\ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ $の誘電体を挿入すると，
$$\begin{eqnarray} C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

3.平行平板コンデンサの電界$\ E \ $と電圧$\ V \ $の関係
極板間の距離$\ d \ \mathrm {[m]} \ $の平行平板コンデンサに電圧$\ V \ \mathrm {[V]} \ $をかけると，極板間の電界$\ E \ \mathrm {[V / m]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

4.平行平板コンデンサの電束密度$\ D \ $と電界$\ E \ $の関係
極板間の誘電率を$\ \varepsilon \ $とすると，電束密度$\ D \ $と電界$\ E \ $には，
$$\begin{eqnarray} D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ の関係があります。

【解答】

解答：(4)
(ア)
両コンデンサに加わる電圧が$\ V_{0} \ \mathrm {[V]} \ $，電極板間隔が共に$\ d \ \mathrm {[m]} \ $であるから，両コンデンサの電界の強さ$\ E_{1} \ \mathrm {[V / m]} \ $及び$\ E_{2} \ \mathrm {[V / m]} \ $は，ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電界$\ E \ $と電圧$\ V \ $の関係」の通り，
$$\begin{eqnarray} E_{1}&=&\frac {V_{0}}{d} \\[ 5pt ] E_{2}&=&\frac {V_{0}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(イ)
両コンデンサの電束密度$\ D_{1} \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $及び$\ D_{2} \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ $は，ワンポイント解説「4.平行平板コンデンサの電束密度$\ D \ $と電界$\ E \ $の関係」の通り，
$$\begin{eqnarray} D_{1}&=&\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}E_{1} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}V_{0} \\[ 5pt ] D_{2}&=&\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}E_{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}V_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(ウ)
両コンデンサの静電容量$\ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ $及び$\ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ $は，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量$\ C \ $」の通り，
$$\begin{eqnarray} C_{1} &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}} S}{d} \\[ 5pt ] C_{2} &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}} S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，各コンデンサに蓄えられる電荷$\ Q_{1} \ \mathrm {[C]} \ $及び$\ Q_{2} \ \mathrm {[C]} \ $は，ワンポイント解説「1.電荷$\ Q \ $と静電容量$\ C \ $及び電圧$\ V \ $の関係」の通り，
$$\begin{eqnarray} Q_{1} &=&C_{1}V_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{d}SV_{0} \\[ 5pt ] Q_{2} &=&C_{2}V_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{d}SV_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。