【問題】
【難易度】★★★☆☆(普通)
図は,インダクタンス\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイルと静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサ,並びに\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗の直列回路に,周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)で実効値が\( \ V(≠0) \ \mathrm {[V]} \ \)である電源電圧を与えた回路を示している。この回路において,抵抗の端子間電圧の実効値\( \ V_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)が零となる周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の条件を全て列挙したものとして,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{eqnarray}
(1) & \ & 題意を満たす周波数はない \\[ 5pt ]
(2) & \ & f=0 \\[ 5pt ]
(3) & \ & f=\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ]
(4) & \ & f=0,f→∞ \\[ 5pt ]
(5) & \ & f=\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}},f→∞ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
直列の場合,共振周波数はリアクタンス値が零となり,電流が最も流れやすくなる周波数となります。最も電流が流れると抵抗の電圧降下\( \ V_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)がどうなるかを考えてみて下さい。少し引っ掛け問題となっています。
1.コイルやコンデンサのリアクタンス
インダクタンスが\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイル及び静電容量が\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサを周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の交流電源に接続した時のそれぞれのリアクタンスの大きさ\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及び\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,角周波数を\( \ \omega =2\pi f \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}X_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \\[ 5pt ]
&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
-\mathrm {j}X_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.直列回路の共振条件
共振条件は電圧と電流が同位相になる状態で,回路のリアクタンスが零になる状態のことを言います。\(RLC\)直列回路のリアクタンスの共振条件は,角周波数を\( \ \omega =2\pi f \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}\omega L +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&0 \\[ 5pt ]
\mathrm {j}\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right) &=& 0 \\[ 5pt ]
\omega L &=& \frac {1}{\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の時共振となり,その共振角周波数と共振周波数は,上式を\( \ \omega \ \)について整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{2}&=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ]
\omega &=&\frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ]
f &=&\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
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【解答】
解答:(4)
抵抗の端子間電圧の実効値\( \ {\dot V}_{\mathrm {R}} \ \)を電源電圧\( \ \dot V \ \)で表すと,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&\frac {R}{R+\mathrm {j} \omega L +\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j} \omega C}} \dot V \\[ 5pt ]
&=&\frac {R}{R+\mathrm {j} \left( \omega L -\displaystyle \frac {1}{\omega C}\right) }\dot V \\[ 5pt ]
&=&\frac {R}{R+\mathrm {j} \left( 2\pi f L -\displaystyle \frac {1}{2\pi f C}\right) }\dot V \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので,その大きさ\( \ V_{\mathrm {R}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R}}&=&\frac {R}{\sqrt {R^{2}+ \left( 2\pi f L -\displaystyle \frac {1}{2\pi f C}\right) ^{2}} }V \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで,\( \ f=0 \ \)とすると,\( \ 2\pi f L=0 \ \)及び\( \ \displaystyle \frac {1}{2\pi f C}→∞ \ \)となるから,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R}}&=&\frac {R}{\sqrt {R^{2}+ \left( 0 -∞\right) ^{2}} }V \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。また,\( \ f→∞ \ \)とすると,\( \ 2\pi f L→∞ \ \)及び\( \ \displaystyle \frac {1}{2\pi f C}→0 \ \)となるから,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R}}&=&\frac {R}{\sqrt {R^{2}+ \left( ∞ -0\right) ^{2}} }V \\[ 5pt ]
&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって,正答は(4)となる。