《理論》〈電気回路〉[H27:問16]合成静電容量の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図1の端子\(\mathrm {a-d}\)間の合成静電容量について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　端子\(\mathrm {b-c-d}\)間は図2のように\(\Delta \)結線で接続されている。これを図3のように\(\mathrm {Y}\)結線に変換したとき，電気的に等価となるコンデンサ\(C\)の値\(\mathrm {[\mu F]}\)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(1.0\)　　(2)　\(2.0\)　　(3)　\(4.5\)　　(4)　\(6.0\)　　(5)　\(9.0\)

(b)　図3を用いて，図1の端子\(\mathrm {b-c-d}\)間を\(\mathrm {Y}\)結線回路に変換したとき，図1の端子\(\mathrm {a-d}\)間の合成静電容量\(C_{0}\)の値\(\mathrm {[\mu F]}\)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(3.0\)　　(2)　\(4.5\)　　(3)　\(4.8\)　　(4)　\(6.0\)　　(5)　\(9.0\)

【ワンポイント解説】

\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換の問題は理論科目では毎年のように出題される最頻出問題です。参考書では抵抗での記載が多いと思いますが，リアクタンスでも同じ式を使用できます。三種では不平衡回路の問題は出題されにくいですが，各変換はよく理解しておくようにして下さい。

1.リアクトルとコンデンサのリアクタンス
インダクタンスが\(L \ \mathrm {[H]}\)のリアクトルと静電容量\(C \ \mathrm {[F]}\)のコンデンサの各リアクタンス\(X_{\mathrm {L}} \ [\Omega ]\)と\(X_{\mathrm {C}} \ [\Omega ]\)の大きさは，角周波数を\(\omega \ \mathrm {[rad /s]}\)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {L}}&=&\omega L \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\omega C } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.コンデンサの合成静電容量
静電容量\(C_{1}\)と\(C_{2}\)の合成静電容量\(C\)は，
　　並列接続時：\(C=C_{1}+C_{2}\)
　　直列接続時：\(\displaystyle C=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\)
となります。

3.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
①\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換
図4において，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {a}}&=&\frac {Z_{\mathrm {ab}}Z_{\mathrm {ca}}}{Z_{\mathrm {ab}}+Z_{\mathrm {bc}}+Z_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {b}}&=&\frac {Z_{\mathrm {bc}}Z_{\mathrm {ab}}}{Z_{\mathrm {ab}}+Z_{\mathrm {bc}}+Z_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {c}}&=&\frac {Z_{\mathrm {ca}}Z_{\mathrm {bc}}}{Z_{\mathrm {ab}}+Z_{\mathrm {bc}}+Z_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
図4において，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {ab}}&=&\frac {Z_{\mathrm {a}}Z_{\mathrm {b}}+Z_{\mathrm {b}}Z_{\mathrm {c}}+Z_{\mathrm {c}}Z_{\mathrm {a}}}{Z_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {bc}}&=&\frac {Z_{\mathrm {a}}Z_{\mathrm {b}}+Z_{\mathrm {b}}Z_{\mathrm {c}}+Z_{\mathrm {c}}Z_{\mathrm {a}}}{Z_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {ca}}&=&\frac {Z_{\mathrm {a}}Z_{\mathrm {b}}+Z_{\mathrm {b}}Z_{\mathrm {c}}+Z_{\mathrm {c}}Z_{\mathrm {a}}}{Z_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては，
\[
Z_{\mathrm {ab}}=Z_{\mathrm {bc}}=Z_{\mathrm {ca}}=3Z_{\mathrm {a}}=3Z_{\mathrm {b}}=3Z_{\mathrm {c}}
\] となります。

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　　Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

【解答】

(a)解答：(5)
ワンポイント解説「3.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換」より，三相平衡回路での\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換ではリアクタンスは\(\displaystyle \frac {1}{3}\)倍となるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\omega C}&=&\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{\omega \times 3} \\[ 5pt ] \frac {1}{\omega C}&=&\frac {1}{\omega \times 9} \\[ 5pt ] C&=&9 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
(a)の解答を元に図1の回路を整理すると図5のようになる。
\(C_{1}\)と\(C_{3}\)の合成静電容量\(C_{13}\)は，ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」より，
\[
\begin{eqnarray}
C_{13}&=&\frac {C_{1}C_{3}}{C_{1}+C_{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {9\times 9}{9+9} \\[ 5pt ] &=&4.5 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] となる。同様に\(C_{2}\)と\(C_{4}\)の合成静電容量\(C_{24}\)は，
\[
\begin{eqnarray}
C_{24}&=&\frac {C_{2}C_{4}}{C_{2}+C_{4}} \\[ 5pt ] &=&\frac {18\times 9}{18+9} \\[ 5pt ] &=&6 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] となる。よって，\(C_{1}\)，\(C_{2}\)，\(C_{3}\)，\(C_{4}\)の合成静電容量\(C_{1234}\)は，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1234}&=&C_{13}+C_{24} \\[ 5pt ] &=&4.5+6 \\[ 5pt ] &=&10.5 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] となる。したがって，\(\mathrm {a-d}\)間の合成静電容量\(C_{0}\)は，
\[
\begin{eqnarray}
C_{0}&=&\frac {C_{1234}C_{5}}{C_{1234}+C_{5}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10.5\times 9}{10.5+9} \\[ 5pt ] &≒&4.84　→　4.8 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。