《理論》〈電気回路〉[H28:問10]過渡現象に関する論説問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図のように,電圧\( \ E \ \mathrm {[ V ] } \ \)の直流電源,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \),\( \ R \ \mathrm {[ \Omega ] } \ \)の抵抗及び静電容量\( \ C \ \mathrm {[ F ] } \ \)のコンデンサからなる回路がある。この回路において,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を\( \ 1 \ \)側に接続してコンデンサを十分に充電した後,時刻\( \ t=0 \ \mathrm {s} \ \)でスイッチ\(\mathrm {S}\)を\( \ 1 \ \)側から\( \ 2 \ \)側に切り換えた。\( \ 2 \ \)側に切り換えた以降の記述として,誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし,自然対数の底は,\( \ 2.718 \ \)とする。

(1) 回路の時定数は,\( \ C \ \)の値\( \ \mathrm {[ F ] } \ \)に比例する。

(2) コンデンサの端子電圧\( \ v_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[ V ] } \ \)は,\( \ R \ \)の値\( \ \mathrm {[ \Omega ] } \ \)が大きいほど緩やかに減少する。

(3) 時刻\( \ t=0 \ \mathrm {s} \ \)から回路の時定数だけ時間が経過すると,コンデンサの端子電圧\( \ v_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[ V ] } \ \)は直流電源の電圧\( \ E \ \mathrm {[ V ] } \ \)の\( \ 0.368 \ \)倍に減少する。

(4) 抵抗の端子電圧\( \ v_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[ V ] } \ \)の極性は,切り換え前(コンデンサ充電中)と逆になる。

(5) 時刻\( \ t=0 \ \mathrm {s} \ \)における回路の電流\( \ i \ \mathrm {[ A ] } \ \)は,\( \ C \ \)の値\( \ \mathrm {[ F ] } \ \)に関係する。

【ワンポイント解説】

過渡現象は回路の微分方程式を解いて求めます。三種の場合はその結果を暗記していれば問題ありませんが,微分方程式を解けるようにした方が覚えることが減り,結果的に楽かもしれません。

1.\( \ RC \ \)直列回路の過渡現象
1.問題図のスイッチ\( \ 1 \ \)側にした場合
回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
Ri+\frac {q}{C}&=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\(\displaystyle i=\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
R\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}+\frac {q}{C}&=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。まず,定常解\( \ q_{\mathrm {s}} \ \)を求めると,十分に時間が経った時,\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}=0 \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {q_{\mathrm {s}}}{C}&=&E \\[ 5pt ] q_{\mathrm {s}}&=&CE
\end{eqnarray}
\] と求められます。一方,過渡解\( \ q_{\mathrm {t}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R\frac {\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t}+\frac {q_{\mathrm {t}}}{C}&=&0 \\[ 5pt ] \frac {1}{q_{\mathrm {t}}}dq_{\mathrm {t}}&=&-\frac {1}{RC}dt
\end{eqnarray}
\] 両辺積分すると,
\[
\begin{eqnarray}
\ln q_{\mathrm {t}}&=&-\frac {1}{RC}t+C ( Cは積分定数) \\[ 5pt ] q_{\mathrm {t}}&=&A\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} ( Aは積分定数)
\end{eqnarray}
\] となります。よって,一般解\( \ q \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
q&=&q_{\mathrm {s}}+q_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ] &=&CE+A\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t}
\end{eqnarray}
\] となります。ここで,\( \ q ( 0 ) =0 \ \)であるから,\( \ A=-CE \ \)となり,
\[
\begin{eqnarray}
q&=&CE ( 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。また,\(\displaystyle i=\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
i&=&\frac {E}{R} \mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.スイッチを\( \ 1 \ \)側にして十分充電した後,スイッチ\( \ 2 \ \)側にした場合
回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
R\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}+\frac {q}{C}&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,定常解\( \ q_{\mathrm {s}}=0 \ \)であり,過渡解のみ求めればよいことになります。
スイッチ\( \ 1 \ \)側と同様に求めると,
\[
\begin{eqnarray}
q&=&A\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ q ( 0 ) =CE \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
q&=&CE\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。また,電流は,
\[
\begin{eqnarray}
i&=&-\frac{E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。この時,\( \ T=RC \ \)を時定数と言います。

【解答】

解答:(5)
(1):正しい
時定数は\( \ T=RC \ \)で表されます。

(2):正しい
コンデンサ電圧\( \ v_{\mathrm {C}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}&=&\frac {q}{C}=E\mathrm {e}^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ R \ \)が大きいほど,\( \ v_{\mathrm {C}} \ \)は緩やかになる。

(3):正しい
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}( RC ) &=&E\mathrm {e}^{-\frac {RC}{RC}} \\[ 5pt ] &=&E\mathrm {e}^{-1} \\[ 5pt ] &≒&0.368E
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4):正しい
切り換え前後で電流の向きが逆となるため,\( \ v_{\mathrm {R}} \ \)の極性も逆となる。

(5):誤り
\( \ t=0 \ \)における電流は\( \ \displaystyle i ( 0 ) =-\frac{E}{R} \ \)であるため,\( \ C \ \)の値に無関係となる。