《理論》〈電気回路〉[R4上:問15]不平衡負荷に接続された三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように，線間電圧\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)の対称三相交流電源に，三相負荷として誘導性リアクタンス\( \ X=9 \ \mathrm {\Omega } \ \)の\( \ 3 \ \)個のコイルと\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ 20 \ \mathrm {\Omega } \ \)，\( \ 20 \ \mathrm {\Omega } \ \)，\( \ 60 \ \mathrm {\Omega } \ \)の\( \ 4 \ \)個の抵抗を接続した回路がある。端子\( \ \mathrm {a} \ \)，\( \ \mathrm {b} \ \)，\( \ \mathrm {c} \ \)から流入する線電流の大きさは等しいものとする。この回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　線電流の大きさが\( \ 7.7 \ \mathrm {A} \ \)，三相負荷の無効電力が\( \ 1.6 \ \mathrm {kvar} \ \)であるとき，三相負荷の力率の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 0.5 \ \)　　(2)　\( \ 0.6 \ \)　　(3)　\( \ 0.7 \ \)　　(4)　\( \ 0.8 \ \)　　(5)　\( \ 1.0 \ \)　　

(b)　\( \ \mathrm {a} \ \)相に接続された\( \ R \ \)の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから
一つ選べ。

　(1)　\( \ 4 \ \)　　(2)　\( \ 8 \ \)　　(3)　\( \ 12 \ \)　　(4)　\( \ 40 \ \)　　(5)　\( \ 80 \ \)　　

【ワンポイント解説】

不平衡の三相交流回路に関する問題です。
近年，\( \ 3 \ \)種においては平衡負荷を接続したパターンがほとんどでしたが，本問は不平衡負荷の問題が出題されました。
この問題を解く上では不平衡負荷の\( \ \Delta – \mathrm {Y} \ \)変換が必須の知識となりますので，今後の対策としても覚えておいた方が良いかもしれません。

1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図1のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図1において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図2のような関係を描くことができます。

2.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
①\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換
図3において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
図3において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては，
\[
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}={\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(4)
端子\( \ \mathrm {a} \ \)，\( \ \mathrm {b} \ \)，\( \ \mathrm {c} \ \)から流入する電流の大きさが等しいので，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)の大きさは，線間電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)，線電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)，力率\( \ \cos \theta \ \)とすると，図1より，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&\sqrt {3}VI\sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるから，\( \ \sin \theta \ \)について整理し，各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\frac {Q}{\sqrt {3}VI} \\[ 5pt ] &=&\frac {1.6\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 200 \times 7.7} \\[ 5pt ] &≒&0.5999 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\( \ \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1 \ \)の関係より，力率\( \ \cos \theta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\cos ^{2}\theta &=&1-\sin ^{2}\theta \\[ 5pt ] \cos \theta &=&\sqrt {1-\sin ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.5999 ^{2} } \\[ 5pt ] &≒&0.8001　→　0.8 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
ワンポイント解説「2.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換」の通り．三相の抵抗負荷を\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換すると，各相に対応する抵抗\( \ R_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {a}}&=&\frac {20\times 20}{20+60+20} \\[ 5pt ] &=&4 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] R_{\mathrm {b}}&=&\frac {20\times 60}{20+60+20} \\[ 5pt ] &=&12 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] R_{\mathrm {c}}&=&\frac {60\times 20}{20+60+20} \\[ 5pt ] &=&12 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，(a)より回路で消費される有効電力の大きさ\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\frac {Q}{\tan \theta } \\[ 5pt ] &=&\frac {Q\cos \theta }{\sin \theta } \\[ 5pt ] &=&\frac {1.6\times 0.8001}{0.5999} \\[ 5pt ] &≒&2.134 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，ワンポイント解説「1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」の抵抗で消費される有効電力の式から\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&RI^{2}+R_{\mathrm {a}}I^{2}+R_{\mathrm {b}}I^{2}+R_{\mathrm {c}}I^{2} \\[ 5pt ] &=&\left( R+R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {c}}\right) I^{2} \\[ 5pt ] 2.134\times 10^{3}&=&\left( R+4+12+12\right) \times 7.7^{2} \\[ 5pt ] 2134&=&\left( R+28\right) \times 59.29 \\[ 5pt ] R+28&=&35.99 \\[ 5pt ] R&=&7.99　→　8 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。