《理論》〈電気回路〉[H29:問7]直流回路の消費電力量に関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図の回路において,電流の値\(I\left[ \mathrm {A}\right] \)は\(4\mathrm {A}\)よりも\(\fbox {  (ア)  }\)。このとき,抵抗\(R_{1}\)の中で動く電子の流れる向きは図の\(\fbox {  (イ)  }\)であり,電界の向きを併せて考えると,電気エネルギーは失われることになる。また,\(0.25\mathrm {s}\)の間に電源が供給する電力量に対し,同じ時間に抵抗\(R_{1}\)が消費する電力量の比は\(\fbox {  (ウ)  }\)である。抵抗は,消費した電力量だけの熱を発生することで温度が上昇するが,一方で,周囲との温度差に\(\fbox {  (エ)  }\)する熱を放出する。

上記の記述中の空白箇所(ア),(イ),(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

【ワンポイント解説】

並列回路と直列回路の合成抵抗を求めてから,電力量と熱量の内容を問う複合的な問題となっています。計算はそれほど複雑ではないため,各公式を確認してしっかりと解きたい問題です。放出熱量は温度差が大きいほど大きくなりますが,寒い場所の方がお茶が冷めさすい等感覚的にわかると理想です。

1.直列と並列の合成抵抗
\(R_{1}\)と\(R_{2}\)の抵抗の合成抵抗\(R\)
①直列の場合
\[
R=R_{1}+R_{2}
\] ②並列の場合
\[
\frac {1}{R}=\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}
\] すなわち,
\[
R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
\]

2.電源が供給する電力量\(W_{S}\)と抵抗が消費する電力量\(W_{R}\)
電源の電圧を\(V\),抵抗\(R\)に流れる電流を\(I\)とすると,時間\(t\)の間に電源が供給する電力量\(W_{S}\)と抵抗が消費する電力量\(W_{R}\)は以下の通り求められる。
①電源が供給する電力量\(W_{S}\)
\[
W_{S}=VIt\left[ \mathrm {W\cdot s}\right] \] ②抵抗が消費する電力量\(W_{R}\)
\[
W_{R}=RI^{2}t\left[ \mathrm {W\cdot s}\right] \]

【解答】

解答:(1)
(ア)
ワンポイント解説「1.直列と並列の合成抵抗」より,図1回路の合成抵抗は,下記の通り求めることができる。よって,回路は図1の下図のように書き換えることができる。
紫色の破線で囲まれた部分の合成抵抗:\(1+1=2\left[ \Omega\right]\)
青色の破線で囲まれた部分の合成抵抗:\(\displaystyle \frac {2\times 2}{2+2}=1\left[ \Omega\right]\)
緑色の破線で囲まれた部分の合成抵抗:\(1+1=2\left[ \Omega\right]\)
赤色の破線で囲まれた部分の合成抵抗:\(\displaystyle \frac {2\times 2}{2+2}=1\left[ \Omega\right]\)

図1の回路を流れる電流\(I\)は,
\[
I=\frac {12}{1+1}=6\left[ \mathrm {A}\right] \] となり,\(4\mathrm {A}\)よりも大きくなる。

(イ)
電子の流れる向きは-から+方向なので,図の上から下となる。

(ウ)
ワンポイント解説「2.電源が供給する電力量\(W_{S}\)と抵抗が消費する電力量\(W_{R}\)」より,\(0.25s\)の間に電源が供給する電力量\(W_{S}\)は,
\[
W_{S}=VIt=12\times 6\times 0.25 =18\left[ \mathrm {W\cdot s}\right] \] となり,抵抗が消費する電力量\(W_{R}\)は,
\[
W_{R}=RI^{2}t=1\times 6^{2}\times 0.25=9\left[ \mathrm {W\cdot s}\right] \] となる。よって,\(W_{S}\)と\(W_{R}\)の比は,
\[
\frac {W_{R}}{W_{S}}=\frac {9}{18}=0.5
\] となる。

(エ)
抵抗は周囲の温度差に比例する熱を放出する。