《理論》〈電磁気〉[R4下:問17]導体球間に加わる力及び力が釣り合う位置の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

大きさが等しい二つの導体球\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)がある。両導体球に電荷が蓄えられている場合，両導体球の間に働く力は，導体球に蓄えられている電荷の積に比例し，導体球間の距離の\( \ 2 \ \)乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし，両導体球の大きさは\( \ 0.3 \ \mathrm {m} \ \)に比べて極めて小さいものとする。

(a)　この場合の比例定数を求める目的で，導体球\( \ \mathrm {A} \ \)に\( \ +2\times 10^{-8} \ \mathrm {C} \ \)，導体球\( \ \mathrm {B} \ \)に\( \ +3\times 10^{-8} \ \mathrm {C} \ \)の電荷を与えて，導体球の中心間距離で\( \ 0.3 \ \mathrm {m} \ \)隔てて両導体球を置いたところ，両導体球間に\( \ 6\times 10^{-5} \ \mathrm {N} \ \)の反発力が働いた。この結果から求められる比例定数\( \ \mathrm {[N\cdot m^{2}/C^{2}]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，導体球\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)の初期電荷は零とする。

　(1)　\( \ 3\times 10^{9} \ \)　　(2)　\( \ 6\times 10^{9} \ \)　　(3)　\( \ 8\times 10^{9} \ \)　　(4)　\( \ 9\times 10^{9} \ \)　
　(5)　\( \ 15\times 10^{9} \ \)

(b)　小問(a)の導体球\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)を，電荷を保持したままで\( \ 0.3 \ \mathrm {m} \ \)の距離を隔てて固定した。ここで，導体球\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)と大きさが等しく電荷を持たない導体球\( \ \mathrm {C} \ \)を用意し，導体球\( \ \mathrm {C} \ \)をまず導体球\( \ \mathrm {A} \ \)に接触させ，次に導体球\( \ \mathrm {B} \ \)に接触させた。この導体球\( \ \mathrm {C} \ \)を図のように導体球\( \ \mathrm {A} \ \)と導体球\( \ \mathrm {B} \ \)の間の直線上に置くとき，導体球\( \ \mathrm {C} \ \)が受ける力が釣り合う位置を導体球\( \ \mathrm {A} \ \)との中心間距離\( \ \mathrm {[m]} \ \)で表したとき，その距離に最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 0.095 \ \)　　(2)　\( \ 0.105 \ \)　　(3)　\( \ 0.115 \ \)　　(4)　\( \ 0.124 \ \)　　(5)　\( \ 0.135 \ \)

【ワンポイント解説】

クーロンの法則を利用した演算です。
(a)はサービス問題，(b)が解けた受験生と解けなかった受験生が分かれた問題となるかと思います。導体球を接触させることで電荷が移動することを知っているかと高い計算力がポイントになります。
(a)の解答は，知識として覚えておいた方が良い数値となります。
本問は平成20年問17からの再出題となります。

1.クーロンの法則
真空中で距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離れた二つの電荷\( \ Q_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[C]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[C]} \ \)に加わる力\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。このとき，\( \ Q_{\mathrm {A}} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {B}} \ \)の\( \ + \ \)\( \ – \ \)の符号が同符号である場合には斥力（反発する力），異符号である場合には引力（引き合う力）が働きます。

また，比例定数\( \ \displaystyle k=\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}≒9\times 10^{9} \ \mathrm {[N\cdot m^{2}/C^{2}]} \ \)として，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&k\frac {Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] とする場合もあります。

2.二次方程式の解の公式
\( \ x \ \)に関する二次方程式\( \ ax^{2}+bx+c=0 \ \)の解は，
\[
\begin{eqnarray}
x &=&\frac {-b±\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となりますが，仮に\( \ b=2B \ \)と表すことができる場合には，二次方程式\( \ ax^{2}+2Bx+c=0 \ \)の解は，
\[
\begin{eqnarray}
x &=&\frac {-B±\sqrt {B^{2}-ac}}{a} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] でも求めることができます。

【解答】

(a)解答：(4)
比例定数を\( \ k \ \mathrm {[N\cdot m^{2}/C^{2}]} \ \)として，クーロンの法則を\( \ k \ \)について整理し\( \ Q_{\mathrm {A}}=2\times 10^{-8} \ \mathrm {[C]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {B}}=3\times 10^{-8} \ \mathrm {[C]} \ \)，\( \ r=0.3 \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ F=6\times 10^{-5} \ \mathrm {[N]} \ \)を代入すると，ワンポイント解説「1.クーロンの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&k\frac {Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}}{r^{2}} \\[ 5pt ] k &=&\frac {Fr^{2}}{Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {6\times 10^{-5}\times 0.3^{2}}{2\times 10^{-8}\times 3\times 10^{-8}} \\[ 5pt ] &=&0.09\times 10^{11} \\[ 5pt ] &=&9\times 10^{9} \ \mathrm {[N\cdot m^{2}/C^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
まず，導体球\( \ \mathrm {C} \ \)を導体球\( \ \mathrm {A} \ \)に接触させると，導体球\( \ \mathrm {A} \ \)から導体球\( \ \mathrm {C} \ \)に電荷が移動し，両球の電荷量が等しくなる。したがって，そのときの導体球の電荷量\( \ Q_{\mathrm {A}}^{\prime } \ \mathrm {[C]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {A}}^{\prime } &=&\frac {Q_{\mathrm {A}}}{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\times 10^{-8}}{2} \\[ 5pt ] &=&1\times 10^{-8} \ \mathrm {[C]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。次に導体球\( \ \mathrm {C} \ \)を導体球\( \ \mathrm {B} \ \)に接触させると，電荷量の大きい導体球\( \ \mathrm {B} \ \)から導体球\( \ \mathrm {C} \ \)に電荷が移動し，両球の電荷量が等しくなる。したがって，そのときの導体球の電荷量\( \ Q_{\mathrm {B}}^{\prime } \ \mathrm {[C]} \ \)及び\( \ Q_{\mathrm {C}}^{\prime } \ \mathrm {[C]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {B}}^{\prime }=Q_{\mathrm {C}}^{\prime } &=&\frac {Q_{\mathrm {A}}^{\prime }+Q_{\mathrm {B}}}{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1\times 10^{-8}+3\times 10^{-8}}{2} \\[ 5pt ] &=&2\times 10^{-8} \ \mathrm {[C]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，以上をまとめると図1のようになる。
次に求める導体球\( \ \mathrm {A} \ \)と導体球\( \ \mathrm {C} \ \)の距離を\( \ r^{\prime } \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，導体球\( \ \mathrm {A} \ \)と導体球\( \ \mathrm {C} \ \)間及び導体球\( \ \mathrm {B} \ \)と導体球\( \ \mathrm {C} \ \)間に働く力の大きさが等しいことから，ワンポイント解説「1.クーロンの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F =k\frac {Q_{\mathrm {A}}^{\prime }Q_{\mathrm {C}}^{\prime }}{{r^{\prime }}^{2}}&=&k\frac {Q_{\mathrm {B}}^{\prime }Q_{\mathrm {C}}^{\prime }}{\left( r-r^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {Q_{\mathrm {A}}^{\prime }}{{r^{\prime }}^{2}}&=&\frac {Q_{\mathrm {B}}^{\prime }}{\left( r-r^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {1\times 10^{-8}}{{r^{\prime }}^{2}}&=&\frac {2\times 10^{-8}}{\left( 0.3-r^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {1}{{r^{\prime }}^{2}}&=&\frac {2}{\left( 0.3-r^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \left( 0.3-r^{\prime }\right) ^{2}&=&2{r^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] 0.09-0.6r^{\prime }+{r^{\prime }}^{2}&=&2{r^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] {r^{\prime }}^{2}+0.6r^{\prime }-0.09&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これに解の公式を適用すれば，ワンポイント解説「2.二次方程式の解の公式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
r^{\prime }&=&-0.3±\sqrt {0.3^{2}+0.09} \\[ 5pt ] &=&-0.3±\sqrt {0.18} \\[ 5pt ] &≒&0.124，-0.724 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と計算でき，\( \ r^{\prime }＞0 \ \)であるから，\( \ r^{\prime }=0.124 \ \mathrm {[m]} \ \)と求められる。