《理論》〈電気回路〉[H23:問5]抵抗温度係数の変化率の導出に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

\( \ 20 \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値が\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗温度係数が\( \ \alpha _{1} \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)の抵抗器\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ 20 \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値が\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗温度係数が\( \ \alpha _{2}=0 \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)の抵抗器\( \ \mathrm {B} \ \)が並列に接続されている。その\( \ 20 \ \mathrm {[℃]} \ \)と\( \ 21 \ \mathrm {[℃]} \ \)における並列抵抗値をそれぞれ\( \ r_{20} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ r_{21} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とし，\( \ \displaystyle \frac {r_{21}-r_{20}}{r_{20}} \ \)を変化率とする。変化率として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+{\alpha _{1}}^{2}R_{1}} \ \)　　　(2)　\( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1}} \ \)

　(3)　\( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1}} \ \ \ \)　　　(4)　\( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{2}} \ \)

　(5)　\( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{2}} \ \)

【ワンポイント解説】

抵抗温度係数に関する問題です。
抵抗温度係数がややマイナーな公式であることと，計算が少し複雑なため標準より難易度が高めの問題となります。
計算量は多いですが，個々の計算を一つ一つかみ砕いて理解していくようにしましょう。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.抵抗温度係数
基準温度\( \ t_{1} \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値が\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗温度係数が\( \ \alpha \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)の抵抗器があるとき，温度\( \ t_{2} \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha \left( t_{2}-t_{1}\right) \right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答：(2)
温度が\( \ 20 \ \mathrm {[℃]} \ \)のときの並列抵抗値\( \ r_{20} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.合成抵抗」より，
\[
\begin{eqnarray}
r_{20}&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗が\( \ 21 \ \mathrm {[℃]} \ \)になったときの抵抗値\( \ R_{1}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「2.抵抗温度係数」より，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}^{\prime }&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha _{1}\left( 21-20\right) \right\} \\[ 5pt ] &=&R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，温度が\( \ 21 \ \mathrm {[℃]} \ \)のときの並列抵抗値\( \ r_{21} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
r_{21}&=&\frac {R_{1}^{\prime }R_{2}}{R_{1}^{\prime }+R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) +R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，変化率\( \ \displaystyle \frac {r_{21}-r_{20}}{r_{20}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{21}-r_{20}}{r_{20}}&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) +R_{2}}-\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{\displaystyle \frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\left\{ \frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) +R_{2}}-\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right\} \times \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) \left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}}-1 \\[ 5pt ] &=&\frac { R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1}+\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}}-\frac { R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}}{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1} } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。