《機械》〈変圧器〉[R05上:問9]単相変圧器の最大効率となる条件とその大きさに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格容量\( \ 50 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \)の単相変圧器において，力率\( \ 1 \ \)の負荷で全負荷運転したときに，銅損が\( \ 1000 \ \mathrm {W} \ \)，鉄損が\( \ 250 \ \mathrm {W} \ \)となった。力率\( \ 1 \ \)を維持したまま負荷を調整し，最大効率となる条件で運転した。銅損と鉄損以外の損失は無視できるものとし，この最大効率となる条件での効率の値\( \ [％] \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 95.2 \ \)　　(2)　\( \ 96.0 \ \)　　(3)　\( \ 97.6 \ \)　　(4)　\( \ 98.0 \ \)　　(5)　\( \ 99.0 \ \)

【ワンポイント解説】

変圧器の最大効率を求める問題です。
変圧器の効率に関する問題は頻出の問題で，慣れてしまえば確実な得点源となりますので，必ずマスターするようにしましょう。
本問は平成29年問8からの再出題となります。

1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

　※　本問題を解く上では，鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

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　　変圧器の効率

【解答】

解答：(4)
鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となるから，鉄損を\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)，全負荷時の銅損を\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)，最大効率となる時の利用率を\( \ \alpha \ \)とすると，ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm {i}}&=&\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立するため，\( \ \alpha \ \)を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
250&=&\alpha ^{2}\times 1000 \\[ 5pt ] \alpha &=&0.5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，力率\( \ 1 \ \)で最大効率となる負荷\( \ P_{\mathrm {m}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}}&=&50\times 0.5 \\[ 5pt ] &=&25 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，この時の効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ [％] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {P_{\mathrm {m}}}{P_{\mathrm {m}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {25\times 10^{3}}{25\times 10^{3}+250+250}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&98.0 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

【本問に関する質疑応答】

　　変圧器の入力、出力、損失、そして効率とは？