【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
図のように，電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の直流電源，開いた状態のスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)，抵抗値\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗及びインダクタンス\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイルからなる回路がある。この回路において，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を時刻\( \ t=0 \ \mathrm {s} \ \)で閉じた場合に流れる電流\( \ i \ \mathrm {[A]} \ \)，各素子の端子間電圧\( \ v_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ v_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)に関する記述として，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，自然対数の底を\( \ 2.718 \ \)とする。
(1) この回路の時定数は，\( \ R \ \)の値\( \ [\Omega ] \ \)に反比例する。
(2) コイルの端子間電圧\( \ v_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，\( \ L \ \)の値\( \ \mathrm {[H]} \ \)が大きいほど緩やかに変化する。
(3) 時刻\( \ t= 0 \ \mathrm {s} \ \)から回路の時定数の\( \ 2 \ \)倍だけ時間が経過すると，抵抗の端子間電圧\( \ v_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)は電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の\( \ 0.865 \ \)倍に等しい。
(4) 時刻\( \ t= 0 \ \mathrm {s} \ \)から回路の時定数だけ時間が経過すると，コイルの端子間電圧\( \ v_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)は電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の\( \ 0.632 \ \)倍に等しい。
(5) 時刻\( \ t= 0 \ \mathrm {s} \ \)から回路の時定数だけ時間が経過すると，電流\( \ i \ \mathrm {[A]} \ \)は\( \ \displaystyle \frac {E}{R} \ \)の\( \ 0.632 \ \)倍に等しい。
【ワンポイント解説】
\( \ RL \ \)直列回路の電圧電流特性と時定数に関する問題です。
\( \ 3 \ \)種では微分方程式を解く必要はないので，模範解答のように電圧電流の式を覚えている前提で，(3)～(5)の選択肢を具体的に導出することは現実的ではありません。
図3-2や図4-2をイメージしながら正答ができるようになれば十分かと思います。
1.過渡現象におけるリアクトルの過渡状態と定常状態
① 過渡状態
リアクトルに流れる電流値を維持しようとする働きをします。したがって，リアクトルに電圧を印加した瞬間はほとんど電流は流れないので，開放として考えます。
② 定常状態
電圧を印加して十分時間が経過した後は，リアクトルの抵抗はほぼ零になります。したがって，短絡として考えます。
2.過渡現象におけるコンデンサの過渡状態と定常状態
① 過渡状態
コンデンサに蓄えられている電荷が零であるので，電流がものすごく流れやすい状態，すなわち短絡として考えます。
② 定常状態
コンデンサに十分に電荷が蓄えられているので，電流をこれ以上蓄えようとしない，すなわち開放として考えます。
3.時定数
過渡現象におけるリアクトルやコンデンサの電圧の導出は微分方程式の計算を伴うため二種以上の範囲となりますが，図3-1や図4-1のような回路が与えられると，図3-1のリアクトル電圧\( \ V_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)及び回路を流れる電流\( \ I_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[A]} \ \)，図4-1のコンデンサ電圧\( \ V_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[V]} \ \)及び回路を流れる電流\( \ I_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[A]} \ \)はそれぞれ，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {L}} &=&E\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {L}} &=&\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {C}} &=&E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {t}{CR}}\right) \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {C}} &=&\frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {t}{CR}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられ，\( \ \displaystyle t=\frac {L}{R} \ \)及び\( \ t=CR \ \)となる時間を時定数\( \ \tau \ \)と呼びます。
時定数\( \ \tau \ \)が大きくなると図3-2及び図4-2のように経過時間に対し，収束するまでの時間が遅くなります。
【解答】
解答：(4)
(1)正しい
ワンポイント解説「3.時定数」の通り，\( \ RL \ \)直列回路の時定数は\( \ \displaystyle \tau=\frac {L}{R} \ \)なので，\( \ R \ \)の値\( \ [\Omega ] \ \)に反比例します。
(2)正しい
ワンポイント解説「3.時定数」の通り，\( \ RL \ \)直列回路の時定数は\( \ \displaystyle \tau=\frac {L}{R} \ \)なので，\( \ L \ \)の値\( \ \mathrm {[H]} \ \)が大きいほど時定数が大きくなり，コイルの端子間電圧\( \ v_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)は緩やかに変化します。
(3)正しい
ワンポイント解説「3.時定数」の通り，\( \ RL \ \)直列回路の抵抗の端子間電圧\( \ v_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {R}} &=&E-v_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
&=&E-E\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これに時定数の\( \ 2 \ \)倍すなわち\( \ \displaystyle t=\frac {2L}{R} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {R}}&=&E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}\times \frac {2L}{R}}\right) \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1-\mathrm {e}^{-2}\right) \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1-\frac {1}{\mathrm {e}^{2}}\right) \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1-\frac {1}{2.718^{2}}\right) \\[ 5pt ]
&≒&0.865E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，抵抗の端子間電圧\( \ v_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)は電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の\( \ 0.865 \ \)倍程度となります。
(4)誤り
ワンポイント解説「3.時定数」の通り，\( \ RL \ \)直列回路のコイルの端子間電圧\( \ v_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {L}} &=&E\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これに時定数すなわち\( \ \displaystyle t=\frac {L}{R} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R}}&=&E\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}\times \frac {L}{R}} \\[ 5pt ]
&=&E\mathrm {e}^{-1} \\[ 5pt ]
&=&E\times \frac {1}{\mathrm {e}} \\[ 5pt ]
&=&E\times \frac {1}{2.718} \\[ 5pt ]
&≒&0.368E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，コイルの端子間電圧\( \ v_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[V]} \ \)は電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)の\( \ 0.368 \ \)倍程度となります。
(5)正しい
ワンポイント解説「3.時定数」の通り，\( \ RL \ \)直列回路の電流\( \ i \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
i &=&\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これに時定数すなわち\( \ \displaystyle t=\frac {L}{R} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
i &=&\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}\times \frac {L}{R}}\right) \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1-\mathrm {e}^{-1}\right) \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1- \frac {1}{\mathrm {e}}\right) \\[ 5pt ]
&=&E\left( 1- \frac {1}{2.718}\right) \\[ 5pt ]
&≒&0.632E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，電流\( \ i \ \mathrm {[A]} \ \)は\( \ \displaystyle \frac {E}{R} \ \)の\( \ 0.632 \ \)倍程度となります。
