【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
周波数が\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)の電源で駆動されている\( \ 4 \ \)極の三相同期電動機（星形結線）があり，端子の相電圧\( \ V \ \)は\( \ \displaystyle \frac {400}{\sqrt {3}} \ \mathrm {V} \ \)，電機子電流\( \ I_{\mathrm {M}} \ \)は\( \ 200 \ \mathrm {A} \ \)，力率\( \ 1 \ \)で運転している。\( \ 1 \ \)相の同期リアクタンス\( \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は\( \ 1.00 \ \mathrm {\Omega } \ \)であり，電機子の巻線抵抗，及び機械損などの損失は無視できるものとして，次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。
\(\mathrm {(a)} \ \) 上記の同期電動機のトルクの値\( \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)として最も近いものを，次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 12.3 \ \) (2) \( \ 368 \ \) (3) \( \ 735 \ \) (4) \( \ 1 \ 270 \ \) (5) \( \ 1 \ 470 \ \)
\(\mathrm {(b)} \ \) 上記の同期電動機の端子電圧及び出力を一定にしたまま界磁電流を増やしたところ，電機子電流が\( \ I_{\mathrm {M1}} \ \mathrm {[A]} \ \)に変化し，力率\( \ \cos \theta \ \)が\( \ \displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2} \ ( \theta =30^{\circ }) \ \)の進み負荷となった。出力が一定なので入力電力は変わらない。図はこのときの状態を説明するための\( \ 1 \ \)相の概略のベクトル図である。このときの\( \ 1 \ \)相の誘導起電力\( \ E \ \)の値\( \ \mathrm {[V]} \ \)として最も近いものを，次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 374 \ \) (2) \( \ 387 \ \) (3) \( \ 400 \ \) (4) \( \ 446 \ \) (5) \( \ 475 \ \)
【ワンポイント解説】
同期電動機の特性に関する問題で，等価回路を描いて回路方程式を立てることとベクトル図を描いて幾何計算をすることが求められます。\( \ \mathrm {(b)} \ \)のベクトル図がヒントとなっているので確実に解けるようにしましょう。
本問は平成26年問15からの再出題となります。
1.同期電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
同期電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
2.三相同期電動機の等価回路及びベクトル図
三相同期電動機の等価回路は，端子電圧\( \ \dot V \ \mathrm {[V]} \ \)（相電圧），誘導起電力\( \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ \)（相電圧），電機子電流\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)，同期リアクタンス\( \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，図1のようになります。ただし，電機子巻線抵抗は十分に小さいものとします。
等価回路にキルヒホッフの法則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V &=& \dot E+\mathrm {j}x_{\mathrm {s}}\dot I \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることがわかります。
これより，\( \ \dot V \ \mathrm {[V]} \ \)と\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)の力率角を\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)，\( \ \dot V \ \mathrm {[V]} \ \)と\( \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ \)の負荷角を\( \ \delta \ \mathrm {[rad]} \ \)とすると，ベクトル図は図2のように描くことができます。
3.同期電動機の出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)
図3のベクトル図に示すように，端子電圧\( \ \dot V \ \mathrm {[V]} \ \)（相電圧），誘導起電力\( \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ \)（相電圧），電機子電流\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ \dot E \ \)と\( \ \dot V \ \)の位相差（負荷角）を\( \ \delta \ \mathrm {[rad]} \ \)，\( \ \dot V \ \)と\( \ \dot I \ \)の位相差（力率角）を\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)とすると，出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3EI\cos \left( \theta -\delta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，図3の※線を求める式より，
\[
\begin{eqnarray}
x_{\mathrm {s}}I\cos \left( \theta -\delta \right) &=&V\sin \delta \\[ 5pt ]
I\cos \left( \theta -\delta \right) &=&\frac {V}{x_{\mathrm {s}}}\sin \delta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3EI\cos \left( \theta -\delta \right) \\[ 5pt ]
&=&3E\frac {V}{x_{\mathrm {s}}}\sin \delta \\[ 5pt ]
&=&\frac {3VE}{x_{\mathrm {s}}}\sin \delta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。最後の式は公式として覚えておくと良いでしょう。
4.同期電動機の出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)とトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の関係
同期電動機の出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)とトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の関係は，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\omega _{\mathrm {s}} T \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(a)解答：(3)
図1の等価回路より，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V&=&\dot E+\mathrm {j}x_{\mathrm {s}}{\dot I}_{\mathrm {M}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があり，力率が\( \ \cos \theta = 1 \ \)であるから，題意に沿ってベクトル図を描くと図4のようになる。
出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，ワンポイント解説「3.同期電動機の出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3VI_{\mathrm {M}}\cos \theta \\[ 5pt ]
&=&3\times \frac {400}{\sqrt {3}}\times 200\times 1 \\[ 5pt ]
&≒&138 \ 600 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，同期電動機の同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，ワンポイント解説「1.同期電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi \times 60}{4} \\[ 5pt ]
&≒&188.5 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，トルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，ワンポイント解説「4.同期電動機の出力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)とトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
T &=&\frac {P}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {138 \ 600}{188.5} \\[ 5pt ]
&≒&735 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(3)
問題図より，\( \ {\dot I}_{\mathrm {M1}} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさ\( \ I_{\mathrm {M1}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {M1}} &=&\frac {I_{\mathrm {M}}}{\cos 30^{\circ }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {200}{\displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2}} \\[ 5pt ]
&≒&230.9 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，\( \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)での電圧降下の大きさ\( \ x_{\mathrm {s}}I_{\mathrm {M1}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
x_{\mathrm {s}}I_{\mathrm {M1}} &=&1.00 \times \frac {400}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ]
&≒&230.9 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，図5に示す関係から\( \ x_{\mathrm {s}}{\dot I}_{\mathrm {M1}} \ \)の実軸成分と虚軸成分の大きさはそれぞれ，
\[
\begin{eqnarray}
\left( x_{\mathrm {s}}{\dot I}_{\mathrm {M1}}\right) _{\mathrm {Re}} &=&230.9\sin 30^{\circ } \\[ 5pt ]
&=&230.9\times \frac {1}{2} \\[ 5pt ]
&≒&115.5 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\left( x_{\mathrm {s}}{\dot I}_{\mathrm {M1}}\right) _{\mathrm {Im}} &=&230.9\cos 30^{\circ } \\[ 5pt ]
&=&230.9\times \frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
&≒&200.0 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。
したがって，各部の大きさは図6のように整理でき，図に示す三角形に三平方の定理を適用すると，電圧\( \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ \)の大きさ\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {\left\{ V+\left( x_{\mathrm {s}}{\dot I}_{\mathrm {M1}}\right) _{\mathrm {Re}}\right\} ^{2}+{\left( x_{\mathrm {s}}{\dot I}_{\mathrm {M1}}\right) _{\mathrm {Im}}}^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {\left( \frac {400}{\sqrt {3}}+115.5\right) ^{2}+200^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&400 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
