【問題】
【難易度】★★★★★（難しい）
図1は三相ダイオード全波整流器を示している。入力電圧\( \ v_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ v_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ v_{\mathrm {c}} \ \)は①式のとおりであるとき，出力電圧\( \ v_{\mathrm {d}} \ \)は図2の太線に示すように線間電圧の絶対値のうち最も高いものが出力される。次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{l}
&v_{\mathrm {a}} = \sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\sin \theta \\
&v_{\mathrm {b}} = \displaystyle \sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\sin ( \theta -\frac {2\pi }{3} ) \\
&v_{\mathrm {c}} = \displaystyle \sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\sin ( \theta -\frac {4\pi }{3} ) \\
\end{array}
\right\} ・・・・・・・・・・・・・ ①
\end{eqnarray}
\]
\(\mathrm {(a)} \ \) 入力電圧\( \ v_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ v_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ v_{\mathrm {c}} \ \)の実効値を\( \ V_{\mathrm {s}}=100 \ \mathrm {V} \ \)とするとき，線間電圧\( \ v_{\mathrm {ab}} \ \)の実効値\( \ V_{\mathrm {ab}} \ \mathrm {[V]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 144 \ \) (2) \( \ 173 \ \) (3) \( \ 200 \ \) (4) \( \ 288 \ \) (5) \( \ 300 \ \)
\(\mathrm {(b)} \ \) 出力電圧\( \ v_{\mathrm {d}} \ \)は出力に平滑回路を用いない場合，図2の太線のように脈動した波形となる。いま，脈動率\( \ \delta _{\mathrm {d}} \ \)を次式で定義する。
\[
\begin{eqnarray}
\delta _{\mathrm {d}} &=&\frac {\left( \ v_{\mathrm {d}} \ の最大値 \ \right) -\left( \ v_{\mathrm {d}} \ の最小値 \ \right) }{\left( \ v_{\mathrm {d}} \ の平均値 \ \right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
脈動率\( \ \delta _{\mathrm {d}} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，必要に応じて以下の関係を用いてよい。
\[
\begin{eqnarray}
\int _{\alpha }^{\beta }\sin \theta \ \mathrm {d}\theta &=&-\cos \beta +\cos \alpha \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
(1) \( \ 0.07 \ \) (2) \( \ 0.14 \ \) (3) \( \ 0.28 \ \) (4) \( \ 0.60 \ \) (5) \( \ 1.57 \ \)
【ワンポイント解説】
三相ダイオード全波整流器に関する問題です。
かなり難易度が高いため，合格のためには\( \ \mathrm {(a)} \ \)を正答できれば十分かと思います。
正直なところ\( \ \mathrm {(b)} \ \)は\( \ 2 \ \)種以上で学習する範囲なので，学生時代に積分を学習されていた方以外は厳しすぎる設問かなと思います。
1.三相ダイオードブリッジ整流回路の動作
三相ダイオードブリッジ整流回路は図3のように\( \ 6 \ \)つのダイオードを接続した回路で，常に一番電圧の高い相から一番電圧の低い相に電流が流れ，出力されます。
例えば\( \ E_{\mathrm {a}} \ \)が一番電圧が高く，\( \ E_{\mathrm {b}} \ \)が一番電圧が低い場合には図3に示すように電流が流れ\( \ e_{\mathrm {d}}=E_{\mathrm {a}}-E_{\mathrm {b}} \ \)が出力されます。
したがって，図4に示した電圧\( \ e_{\mathrm {d}} \ \)が出力となり，電圧の波形の変化をまとめると図5のようになり，その平均電圧\( \ E_{\mathrm {d}} \ \)は基準電圧を\( \ E_{\mathrm {a}}=\sqrt {2}E\sin \omega t \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {d}} &=&\frac {1}{\displaystyle \frac {\pi }{3}}\int _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} \left( E_{\mathrm {a}}-E_{\mathrm {b}}\right) \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {3}{\pi }\int _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} \left\{ \sqrt {2}E\sin \omega t-\sqrt {2}E\sin \left( \omega t-\frac {2}{3}\pi \right) \right\} \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。ここで和積の公式\( \ \displaystyle \sin A-\sin B=2\cos \frac {A+B}{2}\sin \frac {A-B}{2} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {d}} &=&\frac {3}{\pi }\int _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} 2\sqrt {2}E \cos \left( \omega t-\frac {\pi}{3} \right)\sin \frac {\pi}{3} \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {3}{\pi }\int _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} 2\sqrt {2}E \cos \left( \omega t-\frac {\pi}{3} \right) \frac {\sqrt {3}}{2}\mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {3}{\pi }\int _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} \sqrt {6}E \cos \left( \omega t-\frac {\pi}{3} \right) \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }E\int _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} \cos \left( \omega t-\frac {\pi}{3} \right) \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }E\left[ \sin \left( \omega t-\frac {\pi}{3} \right) \right] _{\frac {\pi}{6}}^{\frac {\pi}{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }E\left\{ \sin \left( \frac {\pi}{2}-\frac {\pi}{3} \right)- \sin \left( \frac {\pi}{6}-\frac {\pi}{3} \right)\right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }E\left\{ \sin \frac {\pi}{6}- \sin \left( -\frac {\pi}{6} \right)\right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }E\left\{ \frac {1}{2}- \left( -\frac {1}{2} \right)\right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
※\( \ 3 \ \)種の場合は積分は出題範囲外なので，上式を暗記していれば十分です。
2.平均値と実効値の定義
\( \ f( \theta ) \ \)を周期\( \ T \ \)の周期関数であるとしたとき，平均値と実効値は以下の通りとなります。
①平均値\( \ F_{\mathrm {av}} \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{T}\int _{0}^{T}f( \theta ) \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これを正弦波\( \ e\left( t \right) =E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {av}} &=&\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ -\cos \omega t \right] _{0}^{\pi } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ 1+1 \right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {2}{\pi }E_{\mathrm {m}}
\end{eqnarray}
\]
となります。
②実効値\( \ F \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\sqrt {\frac {1}{T} \int _{0}^{T} f( \theta ) ^{2} \mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これを正弦波\( \ e\left( t \right) =E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }{E_{\mathrm {m}}}^{2}\sin ^{2}\omega t \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\frac {1-\cos 2\omega t}{2} \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\omega t -\frac {1}{4}\sin 2\omega t \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\pi -0 -0 +0 \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(a)解答：(2)
正弦波交流において，線間電圧は相電圧の\( \ \sqrt {3} \ \)倍なので，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&173 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
［補足］正確な計算
①より，線間電圧\( \ v_{\mathrm {ab}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {ab}} &=&v_{\mathrm {a}}-v_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\sin \theta -\sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\sin ( \theta -\frac {2\pi }{3} ) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\left\{ \sin \theta -\sin ( \theta -\frac {2\pi }{3} ) \right\} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\left\{ 2\cos \frac {\displaystyle \theta +( \theta -\frac {2\pi }{3} )}{2}\sin \frac {\displaystyle \theta -( \theta -\frac {2\pi }{3} )}{2} \right\} （∵和積の公式）\\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\left\{ 2\cos ( \theta -\frac {\pi }{3} )\sin \frac {\pi }{3} \right\} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}V_{\mathrm {s}}\left\{ 2\cos ( \theta -\frac {\pi }{3} ) \times \frac {\sqrt {3}}{2} \right\} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos ( \theta -\frac {\pi }{3} ) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，実効値\( \ V_{\mathrm {ab}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\frac {\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}V_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&173 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(2)
\( \ \mathrm {(a)} \ \)より，\( \ \displaystyle v_{\mathrm {ab}} =\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos ( \theta -\frac {\pi }{3} ) \ \)であり，図7の通り，\( \ v_{\mathrm {d}} \ \)の最大値，最小値，平均値は，\( \ \displaystyle \frac {\pi}{6}≦\theta ≦ \frac {\pi}{2} \ \)における最大値，最小値，平均値と同じである。よって，\( \ v_{\mathrm {d}} \ \)の最大値，最小値，平均値を\( \ v_{\mathrm {d1}} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ v_{\mathrm {d2}} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ v_{\mathrm {d3}} \ \mathrm {[V]} \ \)とすれば，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {d1}} &=&v_{\mathrm {ab}}\left( \frac {\pi }{3}\right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos ( \frac {\pi }{3} -\frac {\pi }{3} ) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos 0 \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {d2}} &=&v_{\mathrm {ab}}\left( \frac {\pi }{6}\right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos ( \frac {\pi }{6} -\frac {\pi }{3} ) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos ( -\frac {\pi }{6} ) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\times \frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {2}}{2}V_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {d3}} &=&\frac {1}{\displaystyle \frac {\pi }{3}}\int _{\frac {\pi }{6}} ^{\frac {\pi }{2}}v_{\mathrm {ab}} \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ]
&=&\frac {3}{\pi }\int _{\frac {\pi }{6}} ^{\frac {\pi }{2}}\sqrt {6}V_{\mathrm {s}}\cos ( \theta -\frac {\pi }{3} ) \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}}\int _{\frac {\pi }{6}} ^{\frac {\pi }{2}}\cos ( \theta -\frac {\pi }{3} ) \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}}\left[ \sin ( \theta -\frac {\pi }{3} )\right] _{\frac {\pi }{6}} ^{\frac {\pi }{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}}\left\{ \sin ( \frac {\pi }{2} -\frac {\pi }{3} ) – \sin ( \frac {\pi }{6} -\frac {\pi }{3} ) \right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}}\left\{ \sin \frac {\pi }{6} – \sin ( -\frac {\pi }{6} ) \right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}}\left\{ \frac {1}{2} – \left( -\frac {1}{2} \right) \right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}} （暗記対応で可）\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，脈動率\( \ \delta _{\mathrm {d}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\delta _{\mathrm {d}} &=&\frac {v_{\mathrm {d1}}-v_{\mathrm {d2}}}{v_{\mathrm {d3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \sqrt {6}V_{\mathrm {s}}-\frac {3\sqrt {2}}{2}V_{\mathrm {s}}}{\displaystyle \frac {3\sqrt {6}}{\pi }V_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \sqrt {6}-\frac {3\sqrt {2}}{2}}{\displaystyle \frac {3\sqrt {6}}{\pi }} \\[ 5pt ]
&≒&0.14 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
