《理論》〈電磁気〉[H26:問17]真空中の電荷に働く力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように，真空中において二つの小さな物体\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)が距離\(r \ \mathrm {[m]}\)を隔てて鉛直線上に置かれている。\(\mathrm {A}\)は固定されており，\(\mathrm {A}\)の真下に\(\mathrm {B}\)がある。物体\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)はそれぞれ，質量\(m_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[kg]}\)，\(m_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[kg]}\)をもち，電荷\(+q_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[C]}\)，\(-q_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[C]}\)を帯びている。\(q_{\mathrm {A}} ＞ 0\)，\(q_{\mathrm {B}} ＞ 0\)とし，真空の誘電率を\(\varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]}\)とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし，小問(a)においては重力加速度\(g \ \mathrm {[m / s^{2} ]}\)の重力を，小問(b)においては無重力を，それぞれ仮定する。物体\(\mathrm {A}\)，\(\mathrm {B}\)の間の万有引力は無視する。

(a)　重力加速度\(g \ \mathrm {[m / s^{2} ]}\)の重力のもとで\(\mathrm {B}\)を初速度零で放ったとき，\(\mathrm {B}\)は\(\mathrm {A}\)に近づくように上昇を始めた。このときの条件を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{eqnarray}
&&(1)　\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r^{2}} ＞ m_{\mathrm {B}}g　　(2)　\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r} ＞ m_{\mathrm {B}}g　　(3)　\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi r} ＞ m_{\mathrm {B}}g \\[ 5pt ] &&(4)　\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{2\pi \varepsilon _{0} r^{2}} ＞ m_{\mathrm {B}}g　　(5)　\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{2\pi \varepsilon _{0} r} ＞ m_{\mathrm {B}}g \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

(b)　無重力のもとで\(\mathrm {B}\)を下向きの初速度\(v_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[m / s ]}\)で放ったとき，\(\mathrm {B}\)は下降を始めたが，途中で速度の向きが変わり上昇に転じた。このときの条件を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{eqnarray}
&&(1)　\frac {1}{2}m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}}^{2} ＜ \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r^{2}}　　　&(2)&　\frac {1}{2}m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}}^{2} ＜ \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r}　　(3)　m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}} ＜ \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r^{2}} \\[ 5pt ] &&(4)　m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}} ＜ \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r}　　&(5)&　\frac {1}{2}m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}} ＜ \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電磁気と力学を組み合わせたような問題となっています。(a)は力の大きさ，(b)はエネルギーの大きさのバランスで条件が決まります。

1.クーロンの法則
距離\(r\)離れた二つの電荷\(q_{\mathrm {A}}\)，\(q_{\mathrm {B}}\)に加わる力\(F\)は，真空の誘電率を\(\varepsilon _{0}\)とすると，
\[
F=\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r^{2}}
\] となります。法則なので，覚えるのが原則となります。

【解答】

(a)解答：(1)
\(\mathrm {B}\)に働く重力の大きさは，\(m_{\mathrm {B}} g\)なので，クーロン力が重力より大きくなればよい。よって，ワンポイント解説「1.クーロンの法則」より，
\[
\frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r^{2}} ＞ m_{\mathrm {B}}g　
\] と求められる。

(b)解答：(2)
\(\mathrm {B}\)の下向きの運動エネルギーの大きさは，\(\displaystyle \frac {1}{2} m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}}^{2} \)であり，クーロン力による上向きのエネルギーの大きさは，
\[
F\cdot r = \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r}
\] であるから，上昇に転じる条件は，
\[
\frac {1}{2}m_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}}^{2} ＜ \frac {q_{\mathrm {A}}q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0} r}
\] と求められる。