《理論》〈電気回路〉[H29:問9]ひずみ波交流電流の消費電力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

\( \ R=5 \ \Omega \ \)の抵抗に，ひずみ波交流電流
\[
\begin{eqnarray}
i&=&6\sin \omega t+2\sin 3\omega t \ \left[ \mathrm {A}\right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が流れた。
このとき，抵抗\( \ R=5 \ \Omega \ \)で消費される平均電力\( \ P \ \)の値\( \ \left[ \mathrm {W}\right] \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，\( \ \omega \ \)は角周波数\( \ \left[ \mathrm {rad/s}\right] \ \)，\( \ t \ \)は時刻\( \ \left[ \mathrm {s}\right] \ \)とする。

(1)　\(40\)　　(2)　\(90\)　　(3)　\(100\)　　(4)　\(180\)　　(5)　\(200\)

【ワンポイント解説】

交流回路の平均消費電力は，電流の実効値を使用します。実効値は瞬時値の二乗平均であり，正弦波交流では瞬時値の\( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}} \ \)倍となります。計算自体は易しいですが，ひずみ波の消費電力が足し算となるところがポイントとなります。

1.正弦波交流の実効値(定義)
\( \ i=I_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)の実効値\( \ I \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\left( I_{\mathrm {m}}\sin \omega t\right) ^{2}\mathrm {d}\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& I_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\left( \frac {1-\cos 2\omega t}{2}\right) \mathrm {d}\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& I_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\left[ \frac {1}{2}\omega t-\frac {\sin 2\omega t}{4}\right] ^{\pi}_{0} } \\[ 5pt ] &=& I_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\left[ \frac {\pi}{2}\right] } \\[ 5pt ] &=& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] と求められます。
※　電験三種受験時においては，積分の知識は必要ないので，結果を記憶していれば問題ありません。

【解答】

解答：(3)
設問のひずみ波\( \ i \ \)は基本波\( \ i_{1} \ \)と第3調波\( \ i_{3} \ \)で構成され，それぞれ，
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}&=&6\sin \omega t \\[ 5pt ] i_{3}&=&2\sin 3\omega t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と表される。\( \ i_{1} \ \)，\( \ i_{3} \ \)の実効値\( \ I_{1} \ \)，\( \ I_{3} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {6}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &=&3\sqrt {2} \\[ 5pt ] I_{3}&=&\frac {2}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，消費される平均電力\( \ P \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=& RI_{1}^{2}+RI_{3}^{2} \\[ 5pt ] &=& 5\times \left( 3\sqrt {2}\right) ^{2}+5\times \left( \sqrt {2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=& 100 \ \left[ \mathrm {W}\right] \end{eqnarray}
\] と求められる。