《理論》〈電気回路〉[H29:問9]ひずみ波交流電流の消費電力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

\(R=5\Omega \)の抵抗に,ひずみ波交流電流
\[
i=6\sin \omega t+2\sin 3\omega t\left[ \mathrm {A}\right] \] が流れた。
このとき,抵抗\(R=5\Omega \)で消費される平均電力\(P\)の値\(\left[ \mathrm {W}\right] \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,\(\omega \)は角周波数\(\left[ \mathrm {rad/s}\right]\),\(t\)は時刻\(\left[ \mathrm {s}\right]\)とする。

(1) 40  (2) 90  (3) 100  (4) 180  (5) 200

【ワンポイント解説】

交流回路の平均消費電力は,電流の実効値を使用します。実効値は瞬時値の二乗平均であり,正弦波交流では瞬時値の\(\displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}}\)倍となります。計算自体は簡単ですが,ひずみ波の消費電力が足し算となるところがポイントとなります。

1.正弦波交流の実効値(定義)
\(i=I_{m}\sin \omega t\)の実効値\(I\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\left( I_{m}\sin \omega t\right) ^{2}d\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& I_{m}\sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\left( \frac {1-\cos 2\omega t}{2}\right) d\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& I_{m}\sqrt {\frac {1}{\pi}\left[ \frac {1}{2}-\frac {\sin 2\omega t}{4}\right] ^{\pi}_{0} } \\[ 5pt ] &=& I_{m}\sqrt {\frac {1}{\pi}\left[ \frac {\pi}{2}\right] } \\[ 5pt ] &=& \frac {I_{m}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] と求められます。
※ 電験三種受験時においては,結果を記憶していれば問題ありません。

【解答】

解答:(3)
設問のひずみ波\(i\)は基本波\(i_{1}\)と第3調波\(i_{3}\)で構成され,それぞれ,
\[
i_{1}=6\sin \omega t
\] \[
i_{3}=2\sin 3\omega t
\] と表される。\(i_{1}\),\(i_{3}\)の実効値\(I_{1}\),\(I_{3}\)は,
\[
I_{1}=\frac {6}{\sqrt {2}}=3\sqrt {2}
\] \[
I_{3}=\frac {2}{\sqrt {2}}=\sqrt {2}
\] となるため,消費される平均電力\(P\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=& RI_{1}^{2}+RI_{3}^{2} \\[ 5pt ] &=& 5\times \left( 3\sqrt {2}\right) ^{2}+5\times \left( \sqrt {2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=& 100 \left[ \mathrm {W}\right] \end{eqnarray}
\] と求められる。