【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
図のように，線間電圧\( \ V \ \mathrm {\left[ V\right] } \ \)，周波数\( \ f \ \mathrm {\left[ Hz\right] } \ \)の対称三相交流電源に，\( \ R \ \mathrm {\left[ \Omega\right] } \ \)の抵抗とインダクタンス\( \ L \ \mathrm {\left[ H\right] } \ \)のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を介して，負荷に静電容量\( \ C \ \mathrm {\left[ F\right] } \ \)の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いた状態において，\( \ V=200 \ \mathrm {V} \ \)，\( \ f=50 \ \mathrm {Hz} \ \)，\( \ R=5 \ \mathrm {\Omega } \ \)，\( \ L=5 \ \mathrm {mH} \ \)のとき，三相負荷全体の有効電力の値\( \ \mathrm {\left[ W\right] } \ \)と力率の値の組合せとして，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 有効電力 & 力率 \\
\hline
(1) & 2.29\times 10^{3} & 0.50 \\
\hline
(2) & 7.28\times 10^{3} & 0.71 \\
\hline
(3) & 7.28\times 10^{3} & 0.95 \\
\hline
(4) & 2.18\times 10^{4} & 0.71 \\
\hline
(5) & 2.18\times 10^{4} & 0.95 \\
\hline
\end{array}
\]
(b) スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じてコンデンサを接続したとき，電源からみた負荷側の力率が1になった。
このとき，静電容量\( \ C \ \)の値\( \ \mathrm {\left[ F\right] } \ \)を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，角周波数を\( \ \omega \ \mathrm{\left[ rad/s\right] } \ \)とする。
\[
\begin{eqnarray}
&(1)& C=\frac {L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}} \\[ 5pt ]
&(2)& C=\frac {\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}} \\[ 5pt ]
&(3)& C=\frac {L}{\sqrt {3}\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ]
&(4)& C=\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ]
&(5)& C=\frac {\omega L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
平衡三相回路の一相分等価回路への書き換え，計算量の多い計算，さらには\(\Delta -\)Y変換も必要となる難問です。他の問題と比べると解くのに時間もかかるかもしれませんが，落ち着いて確実に解きましょう。
1.平衡三相回路の一相分等価回路
図1のように，平衡している三相回路は，一相分の等価回路に書き換えることができます。この時，\( \ \displaystyle E=\frac {V}{\sqrt {3}} \ \)となります。
2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
①\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換
図2において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
図2において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
平衡三相回路においては，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}={\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
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【解答】
(a)解答：(3)
スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を開いた状態では，図1のように一相分等価回路に書き換えることができる。この時，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，\( \ R \ \)とインダクタンス\( \ L \ \)の合成インピーダンス\( \ Z \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，回路を流れる電流\( \ I \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {E}{Z} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {V}{\sqrt {3}}}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {V}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。三相負荷の有効電力\( \ P \ \)は，\( \ P=3RI^{2} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&3R\left\{ \frac {V}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}}\right\} ^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {RV^{2}}{R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。上式に，\( \ V=200 \ \mathrm {V} \ \)，\( \ f=50 \ \mathrm {Hz} \ \)，\( \ R=5 \ \mathrm {\Omega } \ \)，\( \ L=5 \ \mathrm {mH} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\frac {5\times 200^{2}}{5^{2}+\left( 2\times 3.14\times 50 \times 5\times 10^{-3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&7282\mathrm {\left[ W\right] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。力率\( \ \cos \theta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {R}{Z} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left( 2\pi f L\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，\( \ f=50 \ \mathrm {Hz} \ \)，\( \ R=5 \ \mathrm {\Omega } \ \)，\( \ L=5 \ \mathrm {mH} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {5}{\sqrt {5^{2}+\left( 2\times 3.14\times 50\times 5\times 10^{-3}\right) ^{2}}} \\[ 5pt ]
&≒&0.95 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(4)
ワンポイント解説「2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換」より，\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換した後の，静電容量\( \ C_{\mathrm {Y}} \ \)と\( \ C \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\omega C}&=&3\frac {1}{\omega C_{\mathrm {Y}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，
\[
\begin{eqnarray}
C_{\mathrm {Y}}&=&3C \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，一相分等価回路は，図3のように書くことができ，回路の合成アドミタンス\( \ Y \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Y&=&\frac {1}{R+\mathrm {j}\omega L}+\mathrm {j}3\omega C \\[ 5pt ]
&=&\frac {R-\mathrm {j}\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+\mathrm {j}3\omega C \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，力率が\( \ 1 \ \)となるためには，上式の虚部が零とならなければならないので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {-\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+3\omega C&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これを\( \ C \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。（→計算方法詳細）
愛知県出身 愛称たけちゃん
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